专题19 圆锥曲线中的面积与范围问题-2022年高考数学重难点专题讲与练（新高考地区专用）

专题19 圆锥曲线中的面积与范围问题 1、三角形的面积 ①;(其中d是三角形的顶点O到直线AB的距离) ②. 2、四边形的面积或其他多边形面积 ;(其中弦AB与弦PQ所在直线互相垂直) 若AB与PQ的夹角为,则, 还有部分不规则的四边形或其他多边形面积问题, 可以转化为三角形面积的倍数,再参照上述三角形面积的求法进行求解即可. 3、求最值与范围问题的常用方法: （1）几何法: 若题目利用圆锥曲线的定义转化之后或题目中给的条件和结论能明显体现几何特征及意义,则考虑利用图形性质来解决(比如: 两点间线段最短, 或垂线段最短, 或三角形的三边性质等) 解题模板: 第一步：根据圆锥曲线的定义或题目中给的条件和结论,把所求的最值或范围转化为平面上两点之间的距离、点线之间的距离等; 第二步：利用两点间线段最短, 或垂线段最短, 或三角形的三边性质等找到取得最值的临界条件, 进而求出最值或范围. （2）代数法: 若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系,则可先建立起目标函数,再求这个函数的最值或范围,最值常用基本不等式法、或利用求函数值域的方法(配方法、导数法等)求解. 解题模板: 第一步：将所求最值或范围的量用变量表示出来; 第二步：用基本不等式或求函数值域的方法求出最值或范围. （2021秋•昌平区期末）直线3x﹣4y＝0与抛物线W：y2＝2px（p＞0）交于A，B两点，F为抛物线W的焦点，若|AB|＝5，则△ABF的面积为（　　） A． B． C． D． 【分析】由直线AB的方程与抛物线的方程联立求出A，B的坐标，进而求出弦长|AB|的值，再由|AB|的值可得参数p的值，可得焦点F的坐标，求出点F到直线AB的距离d，代入三角形的面积公式可得面积的值． 【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2）， 联立，可得：或， 所以|AB| 而|AB|＝5， 可得5，解得p，即F（，0）， 所以F到直线AB的距离d， 所以S△ABF•|AB|•d5•， 故选：B． （2022春•安徽月考）已知焦距为2的椭圆C：（a＞b＞0），椭圆C上的动点P到一个焦点的最远距离等于3．现有一条直线l过点Q（1，1）与椭圆C相交于A，B两点，且点Q恰为AB的中点，则△AOB的面积为 　　． 【分析】根据题意求出椭圆的方程，点差法求出直线斜率得直线方程，联立方程由根与系数的关系及弦长公式求解即可． 【解答】解：椭圆C上的点P到一个焦点的最远距离等于3，则，解得， 所以b2＝a2﹣c2＝3， 所以椭圆C的方程为1， 设A（x1，y1），B（x2，y2）， 则1，1， 两式相减可得0，即0， 因为x1+x2＝2，y1+y2＝2，所以0， 所以直线l的斜率为， 所以直线l的方程y﹣1（x﹣1），即3x+4y﹣7＝0， 由，可得21x2﹣42x+1＝0， 所以x1+x2＝2，x1x2， 所以弦长|AB||x1﹣x2|， 原点O（0，0）到直线l的距离d， 所以△AOB的面积为|AB|•d． 故答案为：． （2021秋•湖南期末）已知F为抛物线y2＝4x的焦点，过点F作两条直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点．若，则四边形ADBE面积的最小值为（　　） A．48 B．32 C．16 D．8 【分析】设直线l1：y＝k（x﹣1），直线l1与抛物线方程联立，求出|AB|，同理可得|DE|，从而表示可得面积，利用基本不等式，即可得出结论． 【解答】解：依题意l1⊥l2，设直线l1：y＝k（x﹣1），直线l2：y， 联立，得k2x2﹣（2k2+4）x+k2＝0． ∵Δ＞0，设A（x1，y1）、B（x2，y2）， ∴x1+x2＝2， ∴|AB|＝x1+x2+2＝4 同理设D（x3，y3）、E（x4，y4）， ∴x3+x4＝2+4k2，∴|DE|＝x3+x4+2＝4（1+k2）， 设四边形ADBE的面积S|AB|•|DE|＝8（2+k2）≥32． 当且仅当k＝±1时，四边形ADBEE的面积取得最小值32． 故选：B． （2021•汕头二模）已知椭圆C：y2＝1的左、右焦点分别是F1、F2，过F2的直线，与C交于A，B两点，设O为坐标原点，若，则四边形AOBE面积的最大值为（　　） A．1 B． C． D．2 【分析】设过F2的直线的方程为x＝ty+1，A（x1，y1），B（x2，y2）．联立，消元利用韦达定理可得，，借助四边形AOBE的面积S＝2|y1﹣y2|即可求得四边形AOBE面积的最大值． 【解答】解：设过F2的直线的方程为x＝ty+1，A（x1，y1），B（x2，y2）． 联立，可得（2+t2）y2+2ty﹣1＝0， ，， 因为，所以四边形AOBE为平行四边形， 则四边形AOBE的面积S＝2|y1﹣y2|． 当t＝0时，四