专题09 平面向量数量积的5种考法-【专题重点突破】2021-2022学年高一数学下学期核心考点精讲精练(人教B版2019必修第三、四册)

专题9 平面向量数量积的5种考法 一、平面向量数量积相关知识 1．向量的夹角 （1）定义：已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB就是向量a与b的夹角． （2）范围：设θ是向量a与b的夹角，则0°≤θ≤180°． （3）共线与垂直：若θ＝0°，则a与b同向； 若θ＝180°，则a与b反向； 若θ＝90°，则a与b垂直． 2．平面向量的数量积 （1）定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ， 则数量|a||b|cos θ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ， 规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0． 投影向量：向量a在向量b上的投影向量为|a|cos θ＝． （2）坐标表示：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2． 3．平面向量数量积的运算律 （1）a·b＝b·a(交换律)；（2）λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)；（3）(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)． 4．平面向量数量积运算的常用公式 （1）(a＋b)·(a－b)＝a2－b2．（2）(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2．（3）(a－b)2＝a2－2a·b＋b2． 二、平面向量数量积的两种求法 1、直接法：若已知向量的模和夹角时，则利用定义法求解，即a·b＝|a||b|cos<a，b>． 2、基底法：若未知向量的模和夹角时，则可通过向量加法(减法)的三角形法则转化为已知模和夹角的向量的数量积进行求解。其中，已知模和夹角的向量即为选择的基底； 3、坐标法：若已知向量的坐标时，则利用坐标法求解， 即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2． 若未知向量的坐标时，如已知图形为矩形、正方形、直角梯形、等边三角形、等腰三角形或直角三角形时，则可建立平面直角坐标系求出未知向量的坐标进行求解． 三、利用平面向量夹角问题 （1）向量a，b的夹角为锐角⇔a·b>0且向量a，b不共线． （2）向量a，b的夹角为钝角⇔a·b<0且向量a，b不共线． 研究向量的夹角应注意“共起点”，两个非零共线向量的夹角可能是0或π． 数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角， 数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角， 数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角为钝角． 四、数量积的最值或范围问题的2种求解方法 （1）几何法：即临界位置法，结合图形，确定临界位置的动态分析求出范围． （2）代数法：即目标函数法，将数量积表示为某一个变量或两个变量的函数， 建立函数关系式，再利用三角函数有界性、二次函数或基本不等式求最值或范围． 考向1 求平面向量数量积的值 【例1】已知向量a，b的夹角为，|a|＝，|b|＝2，则a·(a－2b)＝________． 【答案】6 【解析】a·(a－2b)＝a2－2a·b＝2－2××2×＝6． 【变式1-1】如图，平行四边形ABCD中，AB＝2，AD＝1，A＝60°，点M在AB边上，且AM＝AB，则·＝_____． 【答案】1 【解析】因为＝＋＝＋，＝＋， 所以·＝(＋)·(＋)＝||2＋||2＋· ＝1＋－·＝－||·||·cos 60°＝－×1×2×＝1． 【变式1-2】在△ABC中，AB＝4，BC＝6，∠ABC＝，D是AC的中点，E在BC上，且AE⊥BD，则·等于( ) A．16 B．12 C．8 D．－4 【答案】A 【解析】以B为原点，BA，BC所在直线分别为x，y轴建立平面直角坐标系(图略)， A(4，0)，B(0，0)，C(0，6)，D(2，3)． 设E(0，t)，·＝(2，3)·(－4，t)＝－8＋3t＝0，∴t＝，即E， ·＝·(0，6)＝16． 【变式1-3】已知平面向量，满足，，点满足，为的外心，则的值为 A． B． C． D． 【答案】 【解析】， ， ，， 以为坐标原点，，垂直于所在直线为，轴建立平面直角坐标系，如图 则， 设，由，知，，，解得，， 又为的外心，， ， 为等边三角形，， ，． 考向2 利用平面向量数量积求参数的值 【例2】如图，在四边形ABCD中，点E，F分别是边AD，BC的中点，设·＝m，·＝n．若AB＝，EF＝1，CD＝，则( ) A．2m－n＝1 B．2m－2n＝1 C．m－2n＝1 D．2n－2m＝1 【答案】D 【解析】·＝(＋)·(－＋)＝－2＋·－·＋· ＝－2＋·(－)＋m＝－2＋·(＋＋－)＋m＝·＋m． 又＝＋＋，＝＋＋，两式相加， 再根据点E，F分别是边AD，BC的中点，化简得2＝＋， 两边同时平方得4＝2＋3＋2·， 所以·＝－，则·