2022届北京市西城区高考一模数学试卷

西 城 区 高 三 统 一 测 试 试 卷 数 学 2022.4 本试卷共 7 页， 150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共 40 分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 （1）已知集合，，则 （A） （B） （C） （D） （2）复数的共轭复数 （A） （B） （C） （D） （3）设，，，则 （A） （B） （C） （D） （4）在的展开式中，常数项为 （A） （B） （C） （D） （5）若双曲线的焦点到其渐近线的距离为，则双曲线的方程为 （A） （B） （C） （D） （6）已知向量满足，，. 则 （A） （B） （C） （D） （7）已知点为圆上一点，点，当m变化时，线段长度的最小值为 （A） （B） （C） （D） （8）将函数的图象向右平移个单位所得函数图象关于原点对称，向左平移个单位所得函数图象关于轴对称，其中，，则 （A） （B） （C） （D） （9）在无穷等差数列中，公差为，则“存在，使得”是“（）”的 （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 （10）如图，曲线为函数的图象，甲粒子沿曲线从点向目的地点运动，乙粒子沿曲线从点向目的地点运动. 两个粒子同时出发，且乙的水平速率为甲的倍，当其中一个粒子先到达目的地时，另一个粒子随之停止运动.在运动过程中，设甲粒子的坐标为，乙粒子的坐标为，若记，则下列说法中正确的是 （A）在区间上是增函数 （B）恰有个零点 （C）的最小值为 （D）的图象关于点中心对称 第二部分（非选择题 共110 分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。 （11）若抛物线上任意一点到点的距离与到直线的距离相等，则 _____. （12）已知数列满足（，），为其前项和. 若，则_____. （13）如图，在棱长为的正方体中，点为棱的中点，点为底面内一点，给出下列三个论断： ①; ②; ③. 以其中的一个论断作为条件，另一个论断作为结论， 写出一个正确的命题：_____. （14）调查显示，垃圾分类投放可以带来约元/千克的经济效益.为激励居民垃圾分类，某市准备给每个家庭发放一张积分卡，每分类投放积分分，若一个家庭一个月内垃圾分类投放总量不低于，则额外奖励分（为正整数）.月底积分会按照元/分进行自动兑换. ①当时，若某家庭某月产生生活垃圾，该家庭该月积分卡能兑换___元； ②为了保证每个家庭每月积分卡兑换的金额均不超过当月垃圾分类投放带来的收益的%，则的最大值为_____. （15）已知函数，给出下列四个结论： ①若，则函数至少有一个零点； ②存在实数，，使得函数无零点； ③若，则不存在实数，使得函数有三个零点； ④对任意实数，总存在实数使得函数有两个零点. 其中所有正确结论的序号是_____. 三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 （16）（本小题13分） 在△ABC中，． （Ⅰ）求的大小； （Ⅱ）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△ABC存在且唯一确定，求边上高线的长. 条件①：，； 条件②：，； 条件③：，. 注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答给分. （17）（本小题14分） 如图，四边形是矩形，平面，平面，，，点在棱上． （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）求二面角的余弦值； （Ⅲ）若点到平面的距离为，求线段的长. （18）（本小题13分） 2021年是北京城市轨道交通新线开通的“大年”，开通线路的条、段数为历年最多.12月31日首班车起，地铁19号线一期开通试运营.地铁19号线一期全长约22公里，共设10座车站，此次开通牡丹园、积水潭、牛街、草桥、新发地、新宫共6座车站.在试运营期间，地铁公司随机选取了乘坐19号线一期的名乘客，记录了他们的乘车情况，得到下表（单位：人）： 下车站 上车站 牡丹园 积水潭 牛街 草桥 新发地 新宫 合计 牡丹园 /// 5 6 4 2 7 24 积水潭 12 /// 20 13 7 8 60 牛街 5 7 /// 3 8 1 24 草桥 13 9 9 /// 1 6 38 新发地 4 10 16 2 /// 3 35 新宫 2 5 5 4 3 /// 19 合计 36 36 56 26 21 25 2