专题02 最值问题-2022年高考数学热点突破精练之圆锥曲线解答题

专题02 最值问题 1.圆锥曲线中的最值问题 圆锥曲线中的最值与取值范围问题一直是高考命题的热点，各种题型都有，命题角度很广，归纳起来常见的命题角度有： (1)转化为函数利用基本不等式或二次函数求最值； (2)利用三角函数有界性求最值； (3)数形结合利用几何性质求最值． 2.最值问题的两种常见解法 (1)几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决； (2)代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立起目标函数，再求这个函数的最值，最值常用基本不等式法、配方法及导数法求解． 1．（2022·辽宁沈阳·模拟预测）如图，已知椭圆：的左、右焦点为、，左、右顶点分别为、，离心率，为椭圆上动点，直线交y轴正半轴于点A，直线交y轴正半轴于点B（当M为椭圆短轴上端点时，A，B，M重合）. (1)求椭圆的方程； (2)若，求直线的方程； (3)设直线、的斜率分别为、，求的最大值. 【解析】(1)因为椭圆的离心率为，故即， 故，所以椭圆的方程为：. (2)设，因为直线交y轴正半轴于点A，则，， 又，故，，故， 因为，故，所以，所以， 故即. (3)由（2）可得，而， 故， 因为，故，故的最大值为. 2．（2022·全国·高三专题练习）已知点，，双曲线C上除顶点外任一点满足直线RM与QM的斜率之积为4. (1)求C的方程； (2)若直线l过C上的一点P，且与C的渐近线相交于A，B两点，点A，B分别位于第一、第二象限，，求的最小值. 【解析】(1)由题意得，即，整理得， 因为双曲线的顶点坐标满足上式，所以C的方程为. (2)由（1）可知，曲线C的渐近线方程为， 设点，，，，， 由，得， 整理得，①，把①代入，整理得②， 因为， ， 所以.由，得， 则， 当且仅当时等号成立，所以的最小值是1. 3．（2022·广西柳州·二模（理））已知椭圆的离心率为，且过点. (1)求椭圆C的方程； (2)椭圆C与x轴相交于A，B两点，P为椭圆C上一动点，直线PA，PB与直线交于M，N两点，设与的外接圆的半径分别为，，求的最小值. 【解析】(1)由题意知. ，∴，，∴椭圆. (2)由已知得，，设椭圆C上动点， 则利用两点连线的斜率公式可知，， ∴， 设直线PA方程为：，则直线PB方程为：， 根据对称性不妨设，令，得，， 即，，则， 设与的外接圆的半径分别为，， 由正弦定理得：，， 又∵，∴， ∴， 当且仅当，即时，等号成立，即的最小值为. 4．（2021·湖北武汉·高三阶段练习）已知椭圆的离心率为，点A，B，C分别为的上，左，右顶点，且. (1)求的标准方程； (2)点D为线段上异于端点的动点，过点D作与直线平行的直线交于点P，Q，求的最大值. 【解析】(1)由题意得：，解得. 又因为，所以，则.所求的标准方程为. (2)可得，则，直线的方程为：， 设直线l的方程为.联立方程组，消y，得， 整理得：①，由l与线段有公共点，得， 联立方程组，解得D的坐标为， 设，由①知② 又 所以③ ②代入③，得 所以当时，有最大值. 5．（2021·河北·高三阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点，，点满足，点的轨迹为. (1)求的方程； (2)不过的直线与交于､两点，若直线的斜率是直线､斜率的等差中项，直线和线段的垂直平分线与轴分别交于､，求的最小值. 【解析】(1)由椭圆的定义知，点在以，为焦点且的椭圆上， 所以其方程为： (2)由题意得直线的斜率存在且不为0.直线的方程为，，， 直线方程与椭圆方程联立得得， 所以得， ，，由题意得， 即 整理得，∵直线不过，∴，， ∴，∴， ∵，∴，解得或， 线段的中点为，线段中垂线方程为 当时，，直线与轴交点的纵坐标 ，或 当时，最小，最小值为2. 6．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆C：0)的离心率为，右顶点为A，过点B(a，1)的直线l与椭圆C交于不同的两点M，N，其中点M在第一象限当点M，N关于原点对称时，点M的横坐标为． (1)求椭圆C的方程； (2)过点N作x轴的垂线，与直线AM交于点P，Q为线段NP的中点，求直线AQ的斜率，并求线段AQ长度的最大值． 【解析】(1)因为，又，所以，所以椭圆． 当点、关于原点对称，此时直线过原点，直线的方程为，所以， 代入椭圆的方程得，即，所以或（舍去） 所以椭圆的方程为 (2)，由题意直线的斜率存在，设直线的方程为，，， 由，得， 可知，，且 直线的方程为，令，则点的纵坐标为， 所以点的纵坐标， 所以直线的斜率为 ， 即直线的斜率为．设直线与轴的交点为，在中，，所以，，所以线段长度的最大值为． 7．（2021·广东·华南师大附中模拟预测）已知椭圆经过点，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)直线与椭圆相交于两点，求的最大值. 【解析