专题01 范围问题-2022年高考数学热点突破精练之圆锥曲线解答题

专题01 范围问题 解决圆锥曲线中的取值范围问题的5种常用解法 (1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围． (2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系． (3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围． (4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围． (5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围． 1．（2022·北京丰台·一模）已知椭圆（）的左、右顶点分别为，，且，离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)设是椭圆上不同于，的一点，直线，与直线分别交于点．若，求点横坐标的取值范围． 【解析】(1)由题意得解得，．所以椭圆的方程是． (2)设（），由已知得，， 所以直线，的方程分别为，． 令，得点的纵坐标为，点的纵坐标为， 所以．因为点在椭圆上，所以， 所以，即．因为，所以，即． 所以．整理得，解得． 所以点横坐标的取值范围是． 2．（2022·辽宁·模拟预测）抛物线的焦点为F，抛物线上一点到F的距离为3， (1)求抛物线C的方程和点A的坐标； (2)设过点且斜率为k的直线l与抛物线C交于不同的两点M，N．若，求斜率k的取值范围． 【解析】(1)由题意知，得，所以抛物线C的方程为． 将点代入，得，所以点A的坐标为． (2)直线与抛物线联立，消去y得， ，解得或． 设，则有， 则，即，又．所以，则 因为，设，则， 因为，则，所以 因为或，所以k的取值范围是 3．（2022·广东揭阳·期末）已知椭圆的离心率为，点在椭圆C上. (1)求椭圆C的标准方程； (2)已知直线与椭圆C交于P，Q两点，点M是线段PQ的中点，直线过点M，且与直线l垂直.记直线与y轴的交点为N，求的取值范围. 【解析】(1)由题意可得，解得，.故椭圆C的标准方程为. (2)设，，. 联立，整理得， 则，解得， 从而，. 因为M是线段PQ的中点，所以， 则，故. 直线的方程为，即. 令，得，则， 所以.设，则， 故. 因为，所以，所以. 4．（2022·全国·高三专题练习）如图，在平面直角坐标系中，已知点F（1，0），过直线l：x＝4左侧的动点P作PH⊥l于点H，∠HPF的角平分线交x轴于点M，且|PH|＝2|MF|，记动点P的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程； (2)过点F作直线l′交曲线C于A，B两点，设，若λ∈，求|AB|的取值范围． 【解析】(1)（1）设P（x，y），由题意可知|MF|＝|PF|，所以， 即，化简整理得，即曲线C的方程为. (2)由题意，得直线l′的斜率k≠0，设直线l′的方程为x＝my＋1， 由，得（3m2＋4）y2＋6my－9＝0.设A（x1，y1），B（x2，y2）， 所以恒成立， 且，，① 又因为，所以－y1＝λy2，② 联立①②，利用，消去y1，y2， 得， 所以，解得 又 因为，所以. 所以|AB|的取值范围是. 5．（2022·江西·模拟预测（理））已知是抛物线上一点，是轴上的点，以为圆心且过点的圆与轴分别交于点、，且当圆与轴相切时，到抛物线焦点的距离为． (1)求抛物线的标准方程； (2)设线段、长度分别为、，求的取值范围． 【解析】(1)当轴时，圆A与轴相切，点为切点， 由题意可知此时点A的横坐标为， 因为A到抛物线焦点的距离为，所以A到抛物线准线的距离为， 故准线与轴之间的距离为，解得， 所以抛物线的标准方程为． (2)设A的坐标，由垂径定理可知，， 设，，所以，． 所以， 当时，则； 当时，则，因为， 所以，当且仅当时，等号成立.此时． 综上所述，． 6．（2022·四川·成都七中模拟预测（理））如图，已知椭圆与等轴双曲线共顶点，过椭圆上一点P（2，-1）作两直线与椭圆相交于相异的两点A，B，直线PA，PB的倾斜角互补.直线AB与x，y轴正半轴相交，分别记交点为M，N. (1)若的面积为，求直线AB的方程； (2)若AB与双曲线的左､右两支分别交于Q，R，求的范围. 【解析】(1)由题得，解得，所以椭圆的方程为， 等轴双曲线的方程为. 由题意，直线PA的斜率存在，设PA：，则PB：， 联立，消去得， 所以，又，所以，则 将换成，得，所以， 设，由，消去得， ，所以得， 则，，， 所以，解得， 所以直线AB的方程为； (2)由，消去得，解得， 所以， ，，则，，， 所以的取值范围为． 7．（2022·上海市松江二中高三开学考试）如图，已知椭圆的一个焦点坐标为，且与轴正半轴分别交于两点，其中的面积为，圆与相切，是椭圆上的动点，以为圆心的圆的半径与圆的半径相同. (1)求椭圆的标准方程； (2)过点作圆的两条切线，分别与圆切于点，射线分别与椭圆交于两点，当的斜率都存在时