山西省思维教育研究会与学科网多校联合教研（第一期）导数基础考点4

第 4 节 综合应用 考点 出现频率 2022 年预测 导数的几何意义 16/32 2022 年高考仍然重点利用导数的几何意义求函数的切线、利用 导数研究函数的单调性、极值与最值问题，难度可以基础题， 也可为中档题，也可为难题，题型为选择、填空或解答题． 导数与函数的单调性 7/32 导数与函数的极值 5/32 导数与函数的最值 5/ 32 【知识梳理】 考点 1 零点存在性 隐零点代换 隐零点工具介绍：隐形零点、设而不求 第一步：用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，列出零点方程 0)( 0 = xf ，并结合 )(xf 的单调性 得到零点的范围； 第二步：以零点为分界点，说明导函数 )(xf  的正负，进而得到 )(xf 的最值表达式； 第三步：求解问题．我们将其称为隐形零点三部曲． 隐零点代换的两个关键步骤是“虚设零点(并卡范围)”和“整体代换”． 我们在利用导函数研究原函数 0( )f x 的极值时，有时我们虽然证明了导函数的零点存在，甚至唯一，但 是无法真正地把零点解出来，这时候我们不得不将零点虚设为 0x ，再利用导函数为 0，我们可以得到关于隐 零点 0x 的一个等式，利用它进行代换，可以将我们所求的极值 0( )f x 中的表达式进行化简，以便于我们接下 来对 0( )f x 的大小或性质进行研究． 考点 2 指数找朋友 对数独行侠 1.对数：乘除变加减 设 ( )f x 为可导函数，则有 1 ( ( ) ln ) ( ) ln ( )f x x f x x f x x   = +  ，若 ( )f x 为非常数函数，求导式子中含有 ln x ， 这类问题需要多次求导．处理这类函数的秒杀技巧是将 ln x 前面部分提出，就留下 ln x 这个单身狗，然后研 究剩余部分，这类方法技巧叫对数单身狗． 2.指数：加减变乘除 设 ( )f x 为可导函数，则有 ( ( )) ( )x xe f x e f x − = − ，若 ( )f x 为非常数函数，求导式子中还是含有 xe ， 针对此类型，可以采用做商的方法，构造 ( ) ( ) ( ) [ ] x x f x f x f x e e ，从而达到简化证明和求最值的目的， xe 总 在找属于它的基友，此类方法技巧俗称指数找基友． 考