河南省周口市文昌中学尖子生培训材料——用法向量求二面角的大小及其角度关系的确定

用法向量求二面角的大小及其角度关系的确定 我们都知道，向量知识在数学学科里有其非常广泛的应用，尤其是在立体几何求角和距离时，若利用向量知识求解会得到事半功倍的效果，也正体现了向量知识的工具性和灵活性。而在应用向量知识求解二面角的大小时，不是所有的二面角的两个半平面的法向量的夹角都和二面角相等，有时是互补，那么，什么时候相等，什么时候互补，如何确定其“角度之间的大小关系”一直以来是困扰很多教师和学生的一个难题。 向量有其自身的独特性质—自由性，当一个向量在空间的某一位置时，可以自由移动，只要满足其方向不变，其无论移动到任何位置，向量都是相等的。根据这一性质，当我们把二面角的某个半平面的法向量求出后，把它的起点放到坐标原点，然后确定其向量的方向的指向，从而确定其法向量的夹角和二面角的大小的关系，在确定了法向量的夹角与二面角的关系后，再利用向量的数量积求出二面角的大小，下面就来具体阐述一下这一做法。 1． 规定法向量的指向方向 1.当法向量的方向指向二面角的内部时称之为向里指， 如：图1中的 向量。 2.当法向量的方向指向二面角的外部时称之为向外指， 如：图1中的 向量。 2． 法向量的夹角和二面角大小的关系 1.设 分别为平面 的法向量，二面角 的大小为 ，向量 的夹角为 ，当两个法向量的方向都向里或都向外指时，则有 （图2）； 2.当两个法向量的方向一个向里指一个向外指时 （图3） 三、在坐标系中做出法向量，从而确定法向量的方向指向 1.已知二面角 ，若平面 的法向量 ，由向量的相等条件知，坐标是（4，4，3）的向量 有无数多个，根据向量的自由性，我们只需做出由原点出发的一个向量便可，如图4所示，从而，我们很容易的判断出平面 法向量的方向的指向，是指向二面角的里面。 2.若平面 法向量 ，同理可做出从原点出发的法向量，如图5所示，显然，方向是指向二面角的外面。 四．应用举例 例题1. 如图6，在棱长为1的正方体ABCD-A1B!C1D1中G、E、F分别为AA1、AB、BC的中点，求作二面角G—EF—D半平面GEF的法向量并判断其方向。 解：以D为原点建立空间直角坐标系，则E(1， ,0) 、F( ，1,0) 、 G(1,0， )由此得: EMBED Equation.3 设平面的法向量为 由 ( 及 ( 可得 EMBED Equation.3 令y=1取