山西省思维教育研究会与学科网多校联合教研（第一期）导数基础考点2

1 第 2 节 单调性问题 考点 出现频率 2022年预测 导数的几何意义 16/32 2022 年高考仍然重点利用导数的几何意义求函数的切线、利用 导数研究函数的单调性、极值与最值问题，难度可以基础题， 也可为中档题，也可为难题，题型为选择、填空或解答题． 导数与函数的单调性 7/32 导数与函数的极值 5/32 导数与函数的最值 5/ 32 【知识梳理】 考点一 单调性基础问题 1．函数的单调性 函数单调性的判定方法：设函数 ( )y f x= 在某个区间内可导，如果 ( ) 0f x  ，则 ( )y f x= 为增函数；如 果 ( ) 0f x  ，则 ( )y f x= 为减函数． 2．已知函数的单调性问题 ①若 ( )f x 在某个区间上单调递增，则在该区间上有 ( ) 0f x  恒成立（但不恒等于 0）；反之，要满足 ( ) 0f x  ，才能得出 ( )f x 在某个区间上单调递增； ②若 ( )f x 在某个区间上单调递减，则在该区间上有 ( ) 0f x  恒成立（但不恒等于 0）；反之，要满足 ( ) 0f x  ，才能得出 ( )f x 在某个区间上单调递减． 考点二 讨论单调区间问题 类型一 不含参数单调性讨论 第一步：求导化简定义域(化简应先通分，尽可能因式分解；定义域需要注意是否是连续的区间)； 第二步：变号保留定号去(变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒 负，无需单独讨论的部分)； 第三步：求根做图得结论(如能直接求出导函数等于 0的根，并能做出导函数与 x轴位置关系图，则导函数 正负区间段已知，可直接得出结论)； 第四步：未得结论断正负(若不能通过第三步直接得出结论，则先观察导函数整体的正负)； 第五步：正负未知看零点(若导函数正负难判断，则观察导函数零点)； 第六步：一阶复杂求二阶(找到零点后仍难确定正负区间段，或一阶导函数无法观察出零点，则求二阶导)； 求二阶导往往需要构造新函数，令一阶导函数或一阶导函数中变号部分为新函数，对新函数再求导． 第七步：借助二阶定区间(通过二阶导正负判断一阶导函数的单调性，进而判断一阶导函数正负区间段)； 第八步：综上所述得圆满． 2 类型二 含参数单调性讨论