第13讲 数列的综合应用 讲义-2022届高三数学二轮复习专题

第13讲 数列的综合应用 一、学习目标 1. 掌握数列的通项与求和问题. 2. 掌握常见的数列与不等式问题； 3. 学会用函数观点看数列问题. 二、典例分析 例1．（1）已知数列的前n项和，若数列单调递减，则λ的取值范围是（ ） A．(－∞，2) B．(－∞，3) C．(－∞，4) D．(－∞，5) 【答案】A （2）若无穷数列的通项公式为，，则数列的项中（        ） A．有最小项，无最大项 B．有最大项，无最小项 C．既有最小项，也有最大项 D．既无最小项，也无最大项 【答案】C 变式： 1．已知数列是首项为，公差为1的等差数列，数列满足．若对任意的，都有成立，则实数的取值范围是（       ） A．， B． C．， D． 【答案】D 例2．设数列的前项和为，． （1）求的值及数列的通项公式； （2）是否存在正整数，使得.若存在，求出所有满足条件的；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）； （2）当时，，则； 当时，，则； ①， 则时，舍去； 当时，，故，符合条件； 而时，，，则不可能为整数； ②， 则时，； 当时，，则都符合条件； 当时，，舍去；而时，，则不可能为整数， 综上所述，存在，. 变式： 1．已知数列中，，． （1）求证：数列是等比数列； （2）若是数列的前项和，求满足的所有正整数． 【答案】（1）， 故， 因为，故，故，故， 所以是首项为，公比为的等比数列. （2）由（1）得． 由，得， 则， 所以 因为为减数列，为减数列，故递减， 当时，，满足；时，， 所以时，总成立 ，不满足要求，舍， 又，同理，当且仅当时，， 综上所述，满足的所有正整数为1和2． 例3．已知数列中，，满足. （1）求数列的通项公式； （2）设为数列的前项和，若不等式对任意正整数恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)， 所以是以为首项，公比为的等比数列， 所以，所以. (2) ， 若对于恒成立，即， 可得即对于任意正整数恒成立， 所以，令，则， 所以，可得，所以， 所以的取值范围为. 变式： 1．已知数列的前n项和为，，且. （1）求数列的通项； （2）设数列满足，记的前n项和为，若对任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 例4.（1）已知两个等比数列，，满足，，，若数列唯一，求的值； （2）是否存在两个等比数列，，使得成公差不为的等差数列？若存在，求 ， 的通项公式；若不存在，说明理由． 【答案】（1）要唯一，当公比时，由 且， ，最少有一个根（有两个根时，保证仅有一个正根） ，此时满足条件的a有无数多个，不符合． 当公比时，等比数列首项为a，其余各项均为常数0，唯一，此时由，可推得符合， 综上，． （2） 假设存在这样的等比数列， 则由等差数列的性质得， 整理得，要使该式成立，则=或 此时数列，公差为0与题意不符，所以不存在这样的等比数列． 变式： 1．已知各项均为正数的两个数列和满足：，， （1）设，，求证：数列是等差数列； （2）设，，且是等比数列，求和的值． 【答案】（1）∵，∴． ∴ ． ∴ ． ∴数列是以1 为公差的等差数列． （2）∵，∴．∴．（﹡） 设等比数列的公比为，由知，下面用反证法证明 若则，∴当时，，与（﹡）矛盾． 若则，∴当时，，与（﹡）矛盾． ∴综上所述，．∴，∴． 又∵，∴是公比是的等比数列． 若，则，于是． 又由即，得． ∴中至少有两项相同，与矛盾．∴． ∴． ∴ 例5．如图，已知曲线：及曲线：，上的点的横坐标为．从上的点作直线平行于轴，交曲线于点，再从点作直线平行于轴，交曲线于点，点（，2，3……）的横坐标构成数列． （1）试求与之间的关系，并证明：； （2）若，求证：． 【答案】（1）由已知，，从而有，∵在上，∴，得，由及，知， 下证：， ∵， ∴与异号， 注意到，知，，即； （2）∵， ∴， ∵，∴，∴有，从而可知， 故， ∴， ∴ ． 变式： 1．如图，曲线上的点与轴正半轴上的点及原点构成一系列正（记为）,记. (1)求数列的通项公式； (3)证明：当时， . 【答案】(1)，设， 则直线的方程为，所以. 直线的方程为，所以. 因此,所以， 由得,即数列成等差数列，得. ，所以. (2)证明：当时, . 3、 课外作业 1．已知数列满足，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 2．数列中，，对任意 ，若，则 （ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 3． 设△AnBnCn的三边长分别为an,bn,cn，△AnBnCn的面积为Sn，n=1,2,3,…，若b1＞c1， 4． b1＋c1＝2a1，an＋1＝an，bn＋1＝，cn＋