第12讲 递推数列问题 讲义-2022届高三数学二轮复习专题

第12讲 递推数列问题 一、学习目标： 1.理解蛛网图，能用蛛网图分析数列的单调性与有界性； 2.了解常见的递推关系的变形，熟悉差分结构与商分结构； 3.掌握基本的数列放缩. 二、典例分析： 例1.（1）已知数列满足，，试分析的单调性与有界性， 并证明. （2）已知数列满足，，若单调递增，则实数的 取值范围是____________. 【答案】（1），用蛛网图分析、数学归纳法证明；（2）. 变式： 1.在数列中，，，证明：. 【答案】用蛛网图分析、数学归纳法证明. 2.在正项数列中，，是否存在常数， 使得成立？并说明理由. 【答案】存在常数符合题意. 例2.（1）数列满足，，则的整数部分是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 （2）数列满足：，，则的值所在区间为（ ） A． B． C． D． 【答案】（1）B； （2）A. 变式： 1．已知数列满足，，，则（        ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】C 2.已知数列满足，若，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 例3．已知数列满足，且 （1）证明：； （2）设数列的前项和为，证明： 【答案】（1）略； （2）关键得到. 变式： 1．已知公差不为0的等差数列满足：，，，成等比数列，数列满足：，， （1）求数列的通项公式； （2）记数列，数列的前n项和为，证明：. 【答案】（1）； （2）∵，∴单调递增，， ∴，， 又得：,即， 又， . 故. ∴． 2.在数列中，已知，其中. （1）求的值，并证明：； （2）证明：； （3）设，求证：. 【答案】（1），，所以. 当且仅当时取等号，但，∴，故. （2） 由（1）知得，于是. 又，故. （3）由（2）知，令， 则， 当时，成立； 当时，，即. 综上可知，. 例4. 在数列中，， （1） 求证：； 求证： 【答案】（1）略； （2），， 变式： 1.设数列满足， （1） 求证：； （2） 设数列的前项和为，求证： 【答案】（1）略；（2）关键. 例5．已知数列满足=且=-（）. （1）证明：1（）； （2）设数列的前项和为，证明（）. 【答案】（1）由题意得，，即，， 由，得， 由得，，即； （2）由题意得，∴①， 由和，得，∴， 因此②， 由①②得. 三、课外作业： 1．设，数列满足，，，则（ ） A.当时， B.当时， C. 当时， D.当时， 【答案】B 2．在正实数数列中，，且，则的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 3．已知数列满足：，.则下列说法正确的是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 4．数列满足，，则（       ） A． B． C．时， D．时， 【答案】C 5．设数列满足，，记，则使成立的最小正整数是（        ） A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 【答案】D 6．已知数列满足，且，下列说法正确的是（ ） A.若，则 B.若，则 C.若 D. 【答案】D 7．已知数列满足：，，若对任意的正整数均有，则实数的最大值是_____. 【答案】2 8．已知数列满足,，若对任意，都有, 则实数的取值范围是______________. 【答案】 9．已知数列满足， （1）证明：； （2）令，．证明: 【答案】（1）略； （2）关键分析出. 10．已知数列满足，，，记，分别是数列，的前项和，证明：当时，（1）；（2）；（3）. 【答案】（1），故，∴，； （2），从而， 又∵，∴，； （3）由（2）知，，由，得，∴当时，， 由此， 又∵，∴，另一方面，由，得， 综上，. 17．已知数列满足：， 证明：当时， （1）；（2）；（3）. 【答案】（1）用数学归纳法证明：．当时，． 假设时，，那么时，若， 则，矛盾，故． 因此，所以，因此． （2）由得，． 记函数， ，函数在上递增，所以， 因此，故． （3）因为，所以， 由，得， 所以，故． 综上，． 学科网（北京）股份有限公司 $