专题07 “给值求值”与“给值求角”问题处理-【专题重点突破】2021-2022学年高一数学下学期核心考点精讲精练(人教B版2019必修第三、四册)

专题7 “给值求值”与“给值求角”问题处理 一、“给值求值”问题的解题策略 1、从角的关系中找解题思路： 已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值， 要注意观察已知角与所求表达式中的角的关系，根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换． （1）当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式； （2）当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系． 2、常见角的变换：①α＝(α－β)＋β； ②α＝＋； ③2α＝(α＋β)＋(α－β)； ④2β＝(α＋β)－(α－β)． 二、“给值求角”问题的解题策略 1、要求“给值求角”问题，需要先将所求角的三角函数值求出，也就是需要先求“给值求值”， 即：先求角的某一函数值，再求角的范围，最后确定角. 2、遵照以下原则：（1）已知正切函数值，选正切函数； （2）已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数； 若角的范围是，选正、余弦皆可； 若角的范围是(0，π)，选余弦较好； 若角的范围为，选正弦较好. 考向1 “给值求值”之已知两个角 【例1】已知，，，均为锐角，求． 【答案】 【解析】∵，均为锐角，∴，， 由，， 易知，． ∴ ． 【变式1-1】已知，，且、、均为锐角，求的值. 【答案】 【解析】因为、均为锐角，故，，均在（0，π）内， 所以，． 而， 所以 ． 【变式1-2】已知cosα＝，sin(α－β)＝，且α、β∈(0，)。求：cos(2α－β)的值． 【答案】 【解析】∵α、β∈(0，)， ∴α－β∈(－，)， ∴sinα＝＝，cos(α－β)＝＝， ∴cos(2α－β)＝cos[α＋(α－β)]＝cosαcos(α－β)－sinαsin(α－β) ＝×－×＝. 【变式1-3】已知、为锐角，，，则 A． B． C． D．3 【答案】D 【解析】角，均为锐角，且，，， 又， 解得：， 考向2 “给值求值”之已知一个角 【例2】已知，则 ． 【答案】 【解析】因为，所以，所以， 则 ． 【变式2-1】已知为锐角，，则 ． 【答案】 【解析】因为为锐角，所以， ， ， 则 【变式2-2】已知，，则的值为 【答案】 【解析】因为，，所以， 所以 【变式2-3】已知,且,则 【答案】 【解析】由,且, 所以， 所以. 考向3 “给值求角” 【例3】已知、均为锐角，且，，求的值． 【答案】 【解析】 ∵、均为锐角，且，， ∴，， ∴． 又∵，，， 而，∴，即， ∴，∴． 【变式3-1】已知cos α＝，sin(α＋β)＝，且α，β∈，求β的值． 【答案】 【解析】∵α，β∈，∴α＋β∈(0，π)，∵cos α＝，sin(α＋β)＝， ∴sin α＝，cos(α＋β)＝±， 当cos(α＋β)＝－时， cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝×＋×＝， ∵β∈，∴β＝ 当cos(α＋β)＝时， cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα ＝×＋×＝<＝cos(α＋β)， 且α＋β∈，β∈， 所以β>α＋β，即α<0，与已知矛盾，舍去，所以β＝. 【变式3-2】已知tanα、tanβ是方程6x2－5x＋1＝0的两根，且0<α<，π<β<，求α＋β的值． 【答案】 【解析】由已知得tanα＋tanβ＝，且tanαtanβ＝，∴tan(α＋β)＝＝＝1. ∵0<α<，∴π<β<，∴π<α＋β<2π，∴α＋β＝. 【变式3-3】已知sin(π－α)＝，cos(α－β)＝，0<β<α<，求角β的大小． 【答案】 【解析】因为sin(π－α)＝，所以sin α＝. 因为0<α<，所以cos α＝＝. 因为cos(α－β)＝，且0<β<α<，所以0<α－β<， 所以sin(α－β)＝＝. 所以cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝×＋×＝. 因为0<β<，所以β＝. 【题组1 “给值求值”之已知两个角】 1、若，，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，，则，， ，， 因此， . 2、若，，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由于，，所以，，， 故，， 且，， 故．， 所以 3、已知，，那么等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】. 4、已知都是锐角，且，，则 . 【答案