专题05 三角函数最值（值域）的5种类型-【专题重点突破】2021-2022学年高一数学下学期核心考点精讲精练(人教B版2019必修第三、四册)

专题5 三角函数最值（值域）的5种类型 1、形如y＝asin x(或y＝acos x)型 可利用正弦函数，余弦函数的有界性，注意对a正负的讨论 2、形如y＝Asin(ωx＋φ)＋b(或y＝Acos(ωx＋φ)＋b)型 可先由定义域求得ωx＋φ的范围，然后，求得sin(ωx＋φ)(或cos(ωx＋φ))的范围，最后求得最值 3、形如y＝asin2x＋bsin x＋c(a≠0)型， 可利用换元思想，设t＝sin x，转化为二次函数y＝at2＋bt＋c求最值， t的范围需要根据定义域来确定． 4、形如sin xcos x±(sin x±cos x)型 利用sin x±cos x和sin xcos x的关系，通过换元法转换成二次函数求值域 5、分式型三角函数值域 （1）分离常数法：通过分离常数法进行变形，再结合三角函数有界性求值域； （2）判别式法 考向1 形如(或)型 【例1】函数的最小值为 【答案】-3 【解析】因为，所以，所以， 所以函数的最小值为. 【变式1-1】函数f(x)＝4－2cos x的最小值是________，取得最小值时，x的取值集合为________． 【答案】{x|x＝6kπ，k∈Z} 【解析】f(x)min＝4－2＝2，此时，x＝2kπ(k∈Z)，x＝6kπ(k∈Z)， 所以x的取值集合为{x|x＝6kπ，k∈Z}． 【变式1-2】函数的最小值为 【答案】-1 【解析】因为，所以； 所以；所以函数的最小值为. 【变式1-3】函数，的值域为 【答案】[-1,1] 【解析】当时，，故的值域为. 考向2 形如或 【例2】函数f(x)＝3sin在区间上的值域为( ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为x∈，以2x－∈，所以sin∈， 所以3sin∈，所以函数f(x)在区间上的值域是，故选B． 【变式2-1】函数y＝2cos，x∈的值域为________． 【答案】(－1,2) 【解析】∵－<x<，∴0<2x＋<，∴－<cos<1，∴－1<2cos<2. ∴函数y＝2cos，x∈的值域为(－1,2)． 【变式2-2】函数f(x)＝2cos x＋sin x的最大值为________． 【答案】 【解析】f(x)＝2cos x＋sin x＝＝sin(x＋α)(其中tan α＝2)， 故函数f(x)＝2cos x＋sin x的最大值为. 【变式2-3】已知函数f(x)＝2cos2x－sin2x＋2，则( ) A．f(x)的最小正周期为π，最大值为3 B．f(x)的最小正周期为π，最大值为4 C．f(x)的最小正周期为2π，最大值为3 D．f(x)的最小正周期为2π，最大值为4 【答案】B 【解析】∵f(x)＝2cos2x－sin2x＋2＝1＋cos 2x－＋2＝cos 2x＋， ∴f(x)的最小正周期为π，最大值为4.故选B. 考向3 形如或型 【例3】求函数的值域. 【答案】 【解析】，， 根据二次函数性质知，当时，；当时，， 故值域为. 【变式3-1】函数，的最小值为 【答案】 【解析】函数， 令，由可得， ， 由二次函数可知当时，单调递增， 当时，函数取最小值 【变式3-2】函数的最大值为 【答案】5 【解析】因为， 而，所以当时，取得最大值5. 【变式3-3】函数的值域为 【答案】 【解析】， 令，则，函数转化为， 时，，时，，函数的值域为. 考向4 形如型 【例4】函数y＝sin x＋cos x＋sin xcos x的值域为_______ 【答案】 【解析】设t＝sin x＋cos x，则sin xcos x＝(－≤t≤)， y＝t＋t2－＝(t＋1)2－1， 当t＝时，y取最大值为＋，当t＝－1时，y取最小值为－1. 所以函数值域为. 【变式4-1】函数y＝sin x－cos x＋sin xcos x，x∈[0，π]的值域为________． 【答案】[－1,1] 【解析】设t＝sin x－cos x，则t2＝sin2x＋cos2x－2sin xcos x， 即sin xcos x＝，且－1≤t≤. ∴y＝－＋t＋＝－(t－1)2＋1. 当t＝1时，ymax＝1；当t＝－1时，ymin＝－1. ∴函数的值域为[－1,1]． 【变式4-2】函数的最大值为（ ） A． B．3 C． D．4 【答案】C 【解析】根据题意，设，则， 则原函数可化为，， 所以当时，函数取最大值.故选：C. 【变式4-3】函数的值域为________． 【答案】 【解