第32讲 排列组合问题-2022年新高考数学90天突破130分综合讲义

第32讲 排列组合问题 方法总结： 一、处理排列组合问题的常用思路： 1、特殊优先：对于题目中有特殊要求的元素，在考虑步骤时优先安排，然后再去处理无要求的元素。 2、寻找对立事件 3、先取再排（先分组再排列） 二、排列组合的常见模型 1、捆绑法 2、插空法 3、错位排列 4、依次插空 5、不同元素分组 6、相同元素分组：隔板法 7、涂色问题： 典型例题： 例1．（2022·全国·高三专题练习）某城市街区如下图所示,其中实线表示马路,如果只能在马路上行走,则从点到点的最短路径的走法有___种． 【答案】7. 【解析】 【详解】 分析：根据题意，从A到B的最短路程，只能向左、向下运动，将原问题转化为排列、组合问题，注意图中有空格，注意排除，计算可得答案． 详解：根据题意，从A到B的最短路程，只能向左、向下运动； 从A到B，最短的路程需要向下走2次，向右走3次，即从5次中任取2次向下，剩下3次向右，有种情况，但图中有空格，故是方法数为中 故答案为7. 点睛：本题考查排列、组合的应用，解题的关键将圆问题转化为排列、组合问题，由分步计数原理计算得到答案． 例2．（2022·全国·高三专题练习）方程的非负整数解共有___________组． 【答案】 【解析】 【分析】 将方程非负整数解的组数，看成相同元素分组问题，采用隔板法. 【详解】 将方程的解看成11个1放在3个小盒的方法，可以将11个1和3个小盒，共14个元素，分成3组，每组至少1个，采用隔板法，14个元素之间13个位置，隔2块板，共有种方法， 所以方程的非负整数解共有组. 故答案为：78 例3．（2022·全国·高三专题练习（理））如图，用五种不同的颜色涂在图中不同的区域内，要求每个区域只能涂一种颜色，且相邻(有公共边)区域涂的颜色不同，则不同的涂色方案一共有___________种.用数字作答 【答案】180 【解析】 【分析】 将图形中四个板块分别记为，按照、不同色和、同色，分两类计数再相加，可得结果. 【详解】 将图形中四个板块分别记为，如图： 当、不同色时，有种涂色方案； 当、同色时，有种涂色方案， 根据分类加法计数原理可得共有种涂色方案. 故答案为：. 例4．（2022·江苏·高三专题练习）将4个相同的白球、5个相同的黑球放入4个不同盒子中的3个中，使得有1个空盒且其他3个盒子中球的颜色齐全的不同放法共有____种．用数字作答 【答案】72 【解析】 【分析】 根据分步乘法计数原理，先选盒子、再取白球，最后取黑球，利用组合数将每一步对应的方法数求出然后相乘即可得到不同的放法数. 【详解】 解：首先从4个盒子中选取3个，共有种取法； 假定选取了前三个盒子，则第四个为空，不予考虑． 由于前三个盒子中的球必须同时包含黑白两色，所以每个盒子中至少有一个白球，一个黑球． 这样白球还剩一个可以自由支配，它可以放在三个盒子中任意一个，共种放法， 黑球还剩两个可以自由支配，这两个球可以分别放入三个盒子中的任意一个， 这里有两种情况：①两个球放入同一个盒子，有3种放法．②两个球放入不同的两个盒子，有3种放法． 综上，黑球共6种放法． 所以总共有种不同的放法． 故答案为：． 【点睛】 关键点点睛：解答本题的关键是分析个黑球和个白球如何分配到三个盒子中（不均分的情况）且每个盒子中两种球都有，采用分步的思想是最合理的，分别考虑两种球的放法数. 例5．（2022·全国·高三专题练习）现有15个省三好学生名额分给1、2、3、4共四个班级，其中1班至少2个名额，2班、4班每班至少3个名额，3班最多2个名额，则共有_________种不同分配方案. 【答案】85 【解析】 【分析】 由3班最多2个名额，3班有2、或1个，或0个名额三种情况，然后其余的情况先分给1班1个名额，2班、4班每班各2个名额，再将剩下的分给1,2,4班，每班至少一个名额，用隔板法可求解. 【详解】 由3班最多2个名额，3班有2、或1个，或0个名额三种情况. （1）、当3班有2个名额时，先给1班1个名额，2班、4班各2个名额，然后将剩下的8个名额分给1班、2班和4班，每个班至少一个名额. 相当于将8个元素排成一排，在中间加入2个隔板将他们分成3组，1班、2班和4班分别得到一组，有种分法. （2）、当3班有1个名额时，先给1班1个名额，2班、4班各2个名额，然后将剩下的9个名额分给1班、2班和4班，每个班至少一个名额. 相当于将9个元素排成一排，在中间加入2个隔板将他们分成3组，1班、2班和4班分别得到一组，有种分法. （3）、当3班没有分得名额时，先给1班1个名额，2班、4班各2个名额，然后将剩下的10个名额分给1班、2班和4班，每个班至少一个名额. 相当于将10个元素排成一排，在中间加入2个隔板将他们分成3组，1班、2班和