专题03 三角函数4种性质的常见考法-【专题重点突破】2021-2022学年高一数学下学期核心考点精讲精练(人教B版2019必修第三、四册)

专题3 三角函数4种性质的常见考法 一、确定三角函数单调性的主要方法： 1、复合函数单调性法：同增异减。 将形如的函数，可以看成的一次函数为内函数， 为外函数的复合函数，根据复合函数单调性法则即可求解. 2、整体代换法：将形如的函数根据诱导公式将其转化为的形式， 然后再根据基本初等三角函数的单调性，将“”作为一个整体， 带入基本初等三角函数的单调区间，进行求解，即可求出函数得单调区间。 3、图像法：如果函数图像易得，可以画出其图像，从图像上可以直观地判断出函数得单调性. 二、三角函数的周期性 1、三角函数周期的求解方法 公式法 （1）三角函数y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的最小正周期分别为2π，2π，π； （2）y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为， y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为 图象法 利用三角函数图象的特征求周期． 如：相邻两最高点(最低点)之间为一个周期， 最高点与相邻的最低点之间为半个周期 2、三角函数周期性规律 ①函数的周期是函数周期的一半. ②不是周期函数. ③的周期与周期是相同的. ④形如的函数的周期为. ⑤形如的函数的周期为. 三、与三角函数奇偶性相关的结论 三角函数中，判断奇偶性的前提是定义域关于原点对称，奇函数一般可化为y＝Asin ωx或y＝Atan ωx的形式，而偶函数一般可化为y＝Acos ωx＋b的形式． 常见的结论有： （1）若y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ＋(k∈Z)；若为奇函数，则有φ＝kπ(k∈Z)． （2）若y＝Acos(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ(k∈Z)；若为奇函数，则有φ＝kπ＋(k∈Z)． （3）若y＝Atan(ωx＋φ)为奇函数，则有φ＝kπ(k∈Z)． 四、三角函数的对称轴与对称中心求解方法： 1、直接法：对于形如的函数，其对称轴是时的的取值,对称中心为时的的取值. 2、整体法：对于形如的函数，将作为一个整体，带入基本初等三角函数的对称轴及对称中心公式，解出即可. 3、若的图象关于直线对称. 4、若的图象关于点对称. 注：三角函数的对称轴与对称中心求解核心策略：形如的函数，在最值处解得函数对称轴，在零点处解得对称中心. 考向1 三角函数的单调性求解 【例1】已知函数f(x)＝4sin，x∈[－π，0]，则f(x)的单调递增区间是________． 【答案】和 【解析】由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ(k∈Z)，得－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)， 又因为x∈[－π，0]，所以f(x)的增区间为和. 【变式1-1】函数y＝cos的单调递减区间是________． 【答案】，k∈Z 【解析】令2kπ≤2x＋≤2kπ＋π，k∈Z，解得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z， 所以所求函数的单调递减区间为，k∈Z. 【变式1-2】函数f(x)＝tan的递增区间是________． 【答案】(k∈Z) 【解析】由－＋kπ＜2x－＜＋kπ(k∈Z)，得－＜x＜＋(k∈Z)． 故函数的递增区间为. 【变式1-3】已知函数f(x)＝2sin，则函数f(x)的单调递减区间为( ) A.(k∈Z) B.(k∈Z) C.(k∈Z) D.(k∈Z) 【答案】D 【解析】f(x)＝2sin＝－2sin2x－，令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ(k∈Z)， 故－＋2kπ≤2x≤＋2kπ(k∈Z)，解得f(x)的单调递减区间为(k∈Z)． 考向2 三角函数的周期性求解 【例2】函数f(x)＝cos的最小正周期为________ 【答案】2 【解析】由余弦的周期公式可得：T＝＝2． 【变式2-1】函数y＝3sin的最小正周期为________． 【答案】π 【解析】由正弦函数的周期公式可得：T＝＝π. 【变式2-2】在函数：①y＝cos|2x|，②y＝|cos x|，③y＝cos2x＋，④y＝tan中，最小正周期为π的所有函数为( ) A．②④ B．①③④ C．①②③ D．①③ 【答案】C 【解析】①y＝cos|2x|＝cos 2x，T＝π. ②由图像知，函数的周期T＝π. ③T＝π. ④T＝. 综上可知，最小正周期为π的所有函数为①②③，故选C． 【变式2-3】函数的最小正周期为 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由已知得 所以的最小正周期 考向3 三角函数的奇偶性求解 【例3】判断下列函数的奇偶性： （1）f(x)＝coscos(π＋x)； （2）f(x)＝； （3）f(x)＝＋. 【答案】（1）奇函数；（2）非奇非偶函数；（3）既是奇函数又是偶函数 【解析】（1）因为x∈R，f(x)＝coscos(π＋x)＝－s