2022年中考数学微专题复习 图形研究合集(教师版学生版）

微专题14 图形研究(一)等腰图——圆心在“三线”上O 基本模型(课本P89－3)： AB＝AC 典例精讲 【例1】(2020原创题)如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，BD是⊙O的直径，连接CD，OE∥BC交AC于点E，连接DE. (1)求证：DE平分∠BDC； (2)若OE＝1，tan∠ODE＝，求AB的长. 【例2】如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，分别过A，C两点作⊙O的切线相交于点P，连接BP交AC于点D. (1)求证：PA∥BC； (2)若sin∠BAC＝，求的值. 典题精练 1.(武汉中考题)如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，CO的延长线交AB于点D. (1)求证：AO平分∠BAC； (2)若BC＝6，sin∠BAC＝，求AC和CD的长. 2.如图，⊙O为△ABC的外接圆，AB＝AC，过点C作CD⊥AC交过点A的切线于点D. (1)求证：2AC2＝AD·BC； (2)连接BD交AC于点P，若＝，求sin∠BAC的值. 3.(2020原创题)如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC＝10，BC＝12，连接BO并延长交AC于点D. (1)求⊙O的半径长； (2)求CD的长. 学科网（北京）股份有限公司 $微专题14 图形研究(一)等腰图——圆心在“三线”上O 基本模型(课本P89－3)： AB＝AC 典例精讲 【例1】(2020原创题)如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，BD是⊙O的直径，连接CD，OE∥BC交AC于点E，连接DE. (1)求证：DE平分∠BDC； (2)若OE＝1，tan∠ODE＝，求AB的长. 【解析】(1)连接AO，证AO平分∠BAC，AO⊥BC.延长OE交CD于点H，∵OE∥BC，∴∠OHD＝∠BCD＝90°，∴OH 垂直平分CD，∴EC＝ED，∴∠ECD＝∠EDC＝∠CAO＝∠BAC＝∠BDC，∴DE平分∠BDC； (2)延长AO交BC于点M，则AM⊥BC，∵tan∠ODE＝tan∠EDC＝tan∠OAE＝＝，∴OA＝2OE＝2＝OB，∵tan∠BAM＝＝tan∠OAE＝，设BM＝x，则AM＝2x，OM＝2x－2，∴在Rt△BOM中，x2＋(2x－2)2＝22，∴x＝ (x＝0已舍)，∴AB＝＝x＝. 【例2】如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，分别过A，C两点作⊙O的切线相交于点P，连接BP交AC于点D. (1)求证：PA∥BC； (2)若sin∠BAC＝，求的值. 【解析】(1)连接AO并延长交BC于点H，连接OB，OC，则△AOB≌△AOC，∴∠BAO＝∠CAO，∴AH⊥BC，∵PA为切线，∴∠OAP＝90°，∴PA∥BC； (2)证∠BOH＝∠BAC，设OB＝5x，BH＝4x，OH＝3x，BC＝8x，tan∠BAH＝＝＝tan∠CAH＝tan∠APO＝.∴PA＝10x，∴＝＝＝. 典题精练 1.(武汉中考题)如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，CO的延长线交AB于点D. (1)求证：AO平分∠BAC； (2)若BC＝6，sin∠BAC＝，求AC和CD的长. 解：(1)方法一：连接BO，∵AB＝AC，OB＝OC，∴A，O在线段BC的中垂线上，∴AO⊥BC，又∵AB＝AC，∴AO平分∠BAC； 方法二：证△AOB≌△AOC(SSS)即可； (2)延长CD交⊙O于点E，连接BE，延长AO交BC于点H，∵sin∠BOH＝sin∠BAC＝，∴＝， ∴易求出AO＝OE＝5，BE＝8，易证BE∥OA，得＝＝，可求出OD＝，∴CD＝，BH＝3，AH＝9，容易求出AB＝AC＝3. 2.如图，⊙O为△ABC的外接圆，AB＝AC，过点C作CD⊥AC交过点A的切线于点D. (1)求证：2AC2＝AD·BC； (2)连接BD交AC于点P，若＝，求sin∠BAC的值. 解：(1)连接AO并延长交BC于点E，则AE⊥BC，AE⊥AD，∴AD∥BC，CE＝BC， ∴△ACE∽△DAC，∴＝，∴AC2＝CE·AD，∴2AC2＝AD·BC； (2)由(1)知：AD∥BC，∴＝＝，∴可设AD＝3，BC＝2，∵2AC2＝AD·BC，∴AC＝AB＝，∴AE＝＝2，连接OC，设OA＝OC＝r，则OE＝－r， ∴在Rt△COE 中，r2＝(－r)2＋12，∴r＝，∴sin∠BAC＝sin∠COE＝＝. 3.(2020原创题)如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC＝10，BC＝12，连接BO并延长交AC于点D. (1)求⊙O的半径长； (2)求CD的长. 解：(1)连接AO并延长交BC于点E，则AE⊥BC，∴BE＝BC＝6，∴AE＝＝8. 设OA＝OB＝r，则OE＝8－r，∴在Rt△BOE中，r2＝62＋(8－r)2，∴r＝； (2)由(1)知OE＝，延长BD交⊙O于点F，连接CF，则CF＝2OF＝. ∵AO∥