2022年中考数学微专题复习 方法研究合集(教师版学生版）

微专题7 方法研究(一)巧用勾股定理列方程. 典例精讲 技巧1 连直径所对的圆周角构造直角三角形 【例1】(2020原创题)如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB＝AC，CD⊥AB于点D，BO的延长线交CD于点E. (1)求证：∠DBE＝∠BCD； (2)若BC＝4，BE＝4，求OE的长. 技巧2 作垂径构造直角三角形 【例2】如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线DE，交AC于点E，AC的反向延长线交⊙O于点F. (1)求证：DE⊥AC； (2)若DE＋EA＝8，⊙O的半径为10，求AF的长. 技巧3 连弧的中点与圆心构造直角三角形 【例3】 (2020原创题)如图，AB为⊙O的直径，BC是⊙O的弦，D是上的一点，BC与AD相交于点E，连接CD，且CD2＝DE·DA. (1)求证：＝； (2)若AB＝10，tan∠BCD＝，求BC的长. 技巧4 连过切点的半径构造直角三角形 【例4】 (2020原创题)如图，BC是⊙O的弦，半径OA⊥BC于点D，E是CD上的一点，直线AE交⊙O于点F，过点F的切线交BC的延长线于点M. (1)求证：ME＝MF； (2)若C为的中点，且AD＝4，OD＝2，求ME的长. 典题精练 1.如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交CA的延长线于点E. (1)求证：BD＝CD； (2)若tan∠C＝，求sin∠BDE的值. 2.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点O在边AC上，以OA为半径的⊙O交AB于点D，过点D作⊙O的切线交BC于点E. (1)求证：ED＝EB； (2)若sinA＝，OC＝2OA，求的值. 3.如图，AB是⊙O的直径，点C是AB延长线上的一点，CD与⊙O相切于点D，M是的中点，MD的延长线交直线AB于点N. (1)求证：CD＝CN； (2)若BN＝3，MN＝，求BC的长. 学科网（北京）股份有限公司 $专题十三 圆(二)方法研究——解答题 微专题7 方法研究(一)巧用勾股定理列方程. 典例精讲 技巧1 连直径所对的圆周角构造直角三角形 【例1】(2020原创题)如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB＝AC，CD⊥AB于点D，BO的延长线交CD于点E. (1)求证：∠DBE＝∠BCD； (2)若BC＝4，BE＝4，求OE的长. 【解析】(1)延长BE交⊙O于点F，连接AF，则∠BAF＝90°，∠AFB＝∠ACB＝∠ABC， ∵∠DBE＋∠AFB＝90°＝∠BCD＋∠ABC，∴∠DBE＝∠BCD； (2)连接CF，则∠BCF＝90°，∴∠BCD＋∠FCE＝90°， ∵∠FEC＝∠BED，∴∠FEC＋∠DBE＝90°，∵∠DBE＝∠BCD， ∴∠FEC＝∠FCE，∴FC＝FE.设FC＝FE＝x，则BF＝4＋x， ∴在Rt△BCF中，(4)2＋x2＝(4＋x)2，∴x＝2，∴BF＝6，BO＝3，∴OE＝BE－BO＝1. 技巧2 作垂径构造直角三角形 【例2】如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线DE，交AC于点E，AC的反向延长线交⊙O于点F. (1)求证：DE⊥AC； (2)若DE＋EA＝8，⊙O的半径为10，求AF的长. 【解析】(1)连接OD，证D∥AC即可； (2)过点O作OH⊥AF于点H，易得矩形ODEH，设AH＝x，则AE＝OD－AH＝10－x. ∴DE＝8－AE＝8－(10－x)＝x－2＝OH，在Rt△AOH中，(x－2)＋x2＝102， ∴x＝8，∴AH＝8，∴AF＝2AH＝16. 技巧3 连弧的中点与圆心构造直角三角形 【例3】 (2020原创题)如图，AB为⊙O的直径，BC是⊙O的弦，D是上的一点，BC与AD相交于点E，连接CD，且CD2＝DE·DA. (1)求证：＝； (2)若AB＝10，tan∠BCD＝，求BC的长. 【解析】(1)连接AC，BD.∵CD2＝DE·DA，∴可证△CDE∽△ADC， ∴∠DCE＝∠DAC＝∠DBC，∴DB＝DC，∴＝； (2)连接OD交BC于点F，则可证OD⊥BC，∴BF＝CF＝BC，tan∠BCD＝tan∠DBF＝＝， 设DF＝x，则BF＝2x，OF＝5－x.∴在Rt△BOF中，(2x)2＋(5－x)2＝52，∴x＝2.∴BC＝2BF＝4x＝8. 技巧4 连过切点的半径构造直角三角形 【例4】 (2020原创题)如图，BC是⊙O的弦，半径OA⊥BC于点D，E是CD上的一点，直线AE交⊙O于点F，过点F的切线交BC的延长线于点M. (1)求证：ME＝MF； (2)若C为的中点，且AD＝4，OD＝2，求ME的长. 【解析】(1)连接OF，证∠MEF＝∠MFE即可； (2)连接AC，OC，OM.∵OA⊥BC