3.2：图形的旋转 脚拉脚模型（共点等腰三角形） 探究学案 2021--2022学年北师大版八年级数学下册

脚拉脚模型 成立条件：等腰三角形顶角互补 模块一：认识“脚拉脚”模型 1、等腰直角三角形的逆序脚拉脚基本图 ( A B C E D ) ( A B C E D F ) 已知：△ABC、△ADE为等腰直角三角形，∠B=∠D=90°，AB=CB，AD=ED，点F为CE的中点。 结论：BF=DF，BF⊥DF. 法一：倍长中线+手拉手 延长DF至点G，使得FG=FD，易证△DEF≌△GCF（SAS）； 所以CG=ED=AD，∠2=∠7； 又∠1+∠2+∠3=360°， ∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=540°（五边形内角和）， ∠4=∠6=90°； 所以∠3+∠5+∠7=∠1+∠2+∠3， 所以∠1=∠5； 则△BCG≌△BAD（SAS）， 所以∠DBG=90°，BG=BD； 所以BF=DG=DF，BF⊥DF。 由△BCF≌△GEF（SAS），得BC∥GH， 由△DEF≌△GCF（SAS），得GH∥DE， 所以∠2=∠6=90°，则∠2=∠1， 所以∠H+∠ADE=180°，即∠H=∠ADE=90°， 在四边形ADEH中，∠1+∠2=180°， 所以∠H=∠ABC=90°， 则∠3+∠4=180°，又∠4+∠5=180°， 所以∠1=∠2（8型转角）， 所以∠3=∠5 所以∠3=∠4 注意：选择“四边形对角互补”还是“8型转角”证明角相等取决原有等腰直角三角形底边与公共顶点的夹角（夹角小于45°：选择“四边形对角互补”;夹角大于45°：选择“8型转角”） 法二：斜边中线+中位线 取AC中点G，AE中点H，连接BG，FG，FH，DH。 由中位线定理可知：FG=AE=DH，FH=AC=BG， ∠1=∠3=∠2， 所以∠1+∠5=∠2+∠4，所以∠BGF=∠FHD； 则△BGF≌△FHD（SAS）， 所以BF=DF，∠FBG=∠DFH，∠BFG=∠FDH； 所以∠BFG+∠GFH+∠DFH=∠BFG+∠3+∠FBG =∠BFG+∠1+∠FBG， 又∠BFG+∠1+∠FBG+∠5=180°（三角形内角和）， 所以∠BFG+∠1+∠FBG=90°，所以BF⊥DF。 2、等腰三角形的顺序脚拉脚模型 ( A B C D E ) ( A B C D E F ) 已知：△AB