高中数学强基计划专题讲座20：初等数论

高中数学强基计划专题讲座20：初等数论 一、 数的表示 1、若个连续正整数之和为，则的最大值是 ． 解：设，则， 注意，而，为使值最大，当把表成最接近的一对因数之积，为，所以． 2、对于自然数，将其各位数字之和记为，如，，则 （ ） A．28062. B．28065. C．28067. D．28068. 【答】D. 3、把1到2010之间的所有自然数均看作四位数（如果不足四位，则在前面加0，补足四位，这样做不会改变的值）. 1在千位上出现的次数为，1在百位上出现的次数为，1在十位和个位上出现的次数均为，因此，1出现的总次数为. 2在千位上出现的次数为11，2在百位和十位上出现的次数均为，2在个位上出现的次数为，因此，2出现的总次数为. 类似的，可求得出现的总次数均为. 因此＝28068. 4、正整数n满足以下条件：任意n个大于1且不超过2009的两两互素的正整数中，至少有一个素数，求最小的n。 解：由于这14个合数都小于2009且两两互质，因此n≥15。 而n=15时，我们取15个不超过2009的互质合数的最小素因子，则必有一个素数≥47，不失一般性设，由于是合数的最小素因子，因此，矛盾。因此，任意15个大于1且不超过的互质正整数中至少有一个素数。综上所述，n最小是15。 5.的末位数字是（ ）． 、； 、； 、； 、． 答案： 解：的末位数字按的顺序循环，而的末位数字按的顺序循环， 因为是形状的数，所以的末位数字是，而的末位数字是， 所以的末位数字是． 6、能使是完全平方数的正整数n的值为 ． 【答】 11. 当时，，若它是完全平方数，则n必为偶数． 若，则；若，则；若，则；若，则。所以，当时，都不是完全平方数． 当时，，若它是完全平方数，则为一奇数的平方。 设（k为自然数），则．由于和一奇一偶，所以，于是，故． 二、整除 1、带余除法： 定义：设＞0，如果存在，使得＜b，称为除以所得的商，称为除以所得的余数。 当时，，此时称被整除，或称整除，记,否则称不整除，记|。 全体整数可分三类：质数、合数、1。 2、整除的常用性质： （1）若则； （2）若 （3）若； （4）若； （5）若； （6）任意个连续整数的积一定能被整除。 (7)为质数，若则必能整除中的某一个.特别地，若为质数， 3、算术基本定理： 设是大于1的整数，则是不同的素数，的正约数的个数为个。 4、 常用的公式及定理： （1）。 （2）对于奇数有：　。 （3）二项式定理： （4）费尔马小定理：为素数，对任意正整数，均有，特别的，当 n时，有。 [典型例题] 例1、求证： 证明：因为， 　　　　　，其中，于是从而，。 例2、设，求证： 证明：因为； 因为 设 又 即从而。 注：递推思想的解题方法本质上同数学归纳法，这里构造与两个辅助函数，属构造型的解题思路。 例3、求最大的正整数，使得对每一个正整数，都有 解：采取数学归纳法： （1）当=1时，成立。 （2）假设当=k时成立，即， 则当时， ； 又由归纳假设，，只需证， 又知，， 因此当时，，即命题成立。 4、求一对整数满足： （1）不能被整除。 能被7整除。 【解】= = 根据题设要求(1)(2)知，即 令即即，则故可令即合要求. 5.求所有正整数m,n满足整除，并且整除 分析 由对称性，我们不妨设，并估计n的大体范围。 解 不妨设则 显然对于成立。因此，时，满足条件的整数m,n不存在，我们只要考虑与 假设，则整除。若则 显然。所以，不整除 与且易知成立。 假设我们求整除的m.若，则 又所以不整除则对于逐一验证得：或 综上所述，解为 6.设为2008个整数，且（）。如果存在某个，使得2008位数被101整除，试证明：对一切，2008位数 均能被101整除。 解： 根据已知条件，不妨设k＝1，即2008位数被101整除，只要能证明2008位数能被101整除。 事实上，， 从而有， 即有。 因为，所以。 利用上述方法依次类推可以得到 对一切，2008位数均能被101整除。 三、方程 1. 设 a，b，c，d 是方程 x4+2x3+3x2+4x+5＝0 的 4 个复根，则+++ 的值为（ ） A．﹣ B．﹣ C． D．前三个答案都不对 【导引】由根与系数的关系可得，a+b+c+d＝﹣2，ab+ac+ad+bc+cd＝3，abc+bcd+abd+acd ＝﹣4，abcd＝5，再直接计算即可． 【 解答】由根与系数的关系可得， a+b+c+d ＝ ﹣ 2 ， ab