高中数学强基计划专题讲座19：对称思想(平面几何)

高中数学强基计划专题讲座19：对称思想(平面几何) 一、函数的对称性 1、函数关于点对称 定理1.函数 y = f (x)的图像关于点A (a ,b)对称的充要条件是 f (x) + f (2a－x) = 2b 证明：（必要性）设点P(x ,y)是y = f (x)图像上任一点，∵点P( x ,y)关于点A (a ,b)的对称点P‘（2a－x，2b－y）也在y = f (x)图像上，∴ 2b－y = f (2a－x) 即y + f (2a－x)=2b故f (x) + f (2a－x) = 2b，必要性得证。 （充分性）设点P(x0,y0)是y = f (x)图像上任一点，则y0 = f (x0) ∵ f (x) + f (2a－x) =2b∴f (x0) + f (2a－x0) =2b，即2b－y0 = f (2a－x0) 。 故点P‘（2a－x0，2b－y0）也在y = f (x) 图像上，而点P与点P‘关于点A (a ,b)对称，充分性得征。 推论：函数 y = f (x)的图像关于原点O对称的充要条件是f (x) + f (－x) = 0 例1、函数y=的图像 （A） 关于原点对称 （B）关于主线对称 （C） 关于轴对称 （D）关于直线对称 答案：A 解：由于定义域为（-2，2）关于原点对称，又f(-x)=-f(x)，故函数为奇函数，图像关于原点对称，选A。 例2、如果函数的图像关于点中心对称，那么的最小值为（C） （A） （B） （C） (D) 解: 函数的图像关于点中心对称 由此易得.故选C 2、函数关于直线对称 定理2. 函数 y = f (x)的图像关于直线x = a对称的充要条件是 f (a +x) = f (a－x) 即f (x) = f (2a－x) （证明留给读者） 推论：函数 y = f (x)的图像关于y轴对称的充要条件是f (x) = f (－x) 定理3. ①若函数y = f (x) 图像同时关于点A (a ,c)和点B (b ,c)成中心对称（a≠b），则y = f (x)是周期函数，且2| a－b|是其一个周期。 ②若函数y = f (x) 图像同时关于直线x = a 和直线x = b成轴对称 （a≠b），则y = f (x)是周期函数，且2| a－b|是其一个周期。 ③若函数y = f (x)图像既关于点A (a ,c) 成中心对称又关于直线x =b成轴对称（a≠b），则y = f (x)是周期函数，且4| a－b|是其一个周期。 ①②的证明留给读者，以下给出③的证明： ∵函数y = f (x)图像既关于点A (a ,c) 成中心对称， ∴f (x) + f (2a－x) =2c，用2b－x代x得： f (2b－x) + f [2a－(2b－x) ] =2c………………（*） 又∵函数y = f (x)图像直线x =b成轴对称， ∴ f (2b－x) = f (x)代入（*）得： f (x) = 2c－f [2(a－b) + x]…………（**），用2（a－b）－x代x得 f [2 (a－b)+ x] = 2c－f [4(a－b) + x]代入（**）得： f (x) = f [4(a－b) + x],故y = f (x)是周期函数，且4| a－b|是其一个周期。 推论：两个函数的图象对称性 （1）与关于X轴对称。 换种说法：与若满足，即它们关于对称。（2）与关于Y轴对称。 换种说法：与若满足，即它们关于对称。（3）与关于直线对称。 换种说法：与若满足，即它们关于对称。 （4）与关于直线对称。 换种说法：与若满足，即它们关于对称。 （5）关于点(a,b)对称。 换种说法：与若满足，即它们关于点(a,b)对称。 （6）与关于直线对称。 推论1、函数有两根对称轴x=a，x=b时，那么该函数必是周期函数，且对称轴之间距离的两倍必是函数的一个周期。 例3、已知函数的最小正周期为，将的图像向左平移个单位长度，所得图像关于y轴对称，则的一个值是（ ） A B C D 【答案】D 【解析】由已知，周期为 ，则结合平移公式和诱导公式可知平移后是偶函数，，故选D 例4、已知是函数 的一个零点，是函数 的一个零点，则的值为 （ B ） A．1 B．2008 C． D．4016 【分析】如图：是曲线与曲线交点A的横 坐标，是曲线与曲线交点B的横坐标， ∵函数与互为反函数，∴A与B关于直线y=x对称 即为点A的