高中数学强基计划专题讲座18：数学模型

高中数学强基计划专题讲座18：数学模型 【典型例题】 一、递推模型 例1、对一个边长互不相等的凸边形的边染色，每条边可以染红、黄、蓝三种颜色中的一种，但是不允许相邻的边有相同的颜色．问：共有多少种不同的染色方法？ 解 设不同的染色法有种．易知． ………………（4分） 当时，首先，对于边，有3种不同的染法，由于边的颜色与边的颜色不同，所以，对边有2种不同的染法，类似地，对边，…，边均有2种染法．对于边，用与边不同的2种颜色染色，但是，这样也包括了它与边颜色相同的情况，而边与边颜色相同的不同染色方法数就是凸n－1边形的不同染色方法数的种数，于是可得 ， ………………（10分） ． 于是 ， ，． 综上所述，不同的染色方法数为． ………………（16分） 【点评】用递推的方法计数建立模型的主要环节： （1）设某一过程为数列，求出初始值等，取值的个数由第二步递推的需要决定。 （2）找出与，等之间的递推关系，即建立函数方程。 （3）解函数方程 例2、用1，2，3，4四种数字可以构造多少个含有偶数个1的位数？ 【分析】该问题属于排列组合方面的问题。如果直接计算不太容易入手。若把“用1，2，3，4四种数字构造符合条件——含有偶数个1的位数”的个数记为，可以寻求跟其它项之间的关系。 【解答】把用1，2，3，4四种数字构造符合条件——含有偶数个1的位数的个数记为，并设符合条件的数为，其中。 当时，先考虑的情况： （1）当取2，3，4时， 的排法数有，所以此时共有种； （2）当取1时，中必然只含有奇数个1，从而它的排法数有种，所以此时共有种。 综上可知，有，即 下面求解递推式 求解过程略，求解结果是 例3、用1，2，3三个数字写n位数，要求数中不出现紧挨着的两个1，问能构成多少 个n位数？ 解：设符合条件的n位数共有an种，按首位划分为： （1） 首位是2或3，则以下n-1位各有an-1个，共2an-1个 （2） 首位是1，第二位只能为2或3，共有2an-2个。 故 an=2an-1+2an-2 易知a1=3,a2=8 特征方程是x2-2x-2=0,特征根为和,所以可设)n 取n=1,2,得 第二节 函数、不等式模型 例4、（北大）有333人考试，一共做对了1000道题，做对不多于3道为不及格，做对不少于6道为优秀，不是所有人答对题的数量的奇偶性都相同，问不及格的多还是优秀的多？ 解析 设有人优秀，则及格而不优秀的人最多有人，不及格的最少有人， 若优秀的人不少于不及格的人，则，又，解得. 166人优秀时，最多及格不优秀的人有1人，不及格的人166人.因而不及格的人多于优秀的人. 例5、（北大）排球单循环赛，南方球队比北方球队多9支，南方球队总得分是北方球队的9倍.求证：冠军是一支南方球队.（注：每场比赛获胜队得1分，负队得0分） 解析 设北方球队的共有支，则南方球队有支, 所有球队总得分为， 由题意，南方球队总得分，北方球队总得分， 南方球队内部比赛总得分，北方内部比赛总得分, 由于北方球队总得分不少于北方内部比赛总得分， 故. 解得. 因为为整数，所以 当X=6时，所有球队总得分为， 南方球队总得分为. 南方球队内部比赛得分为=15， 北方胜南方得分 当X=8时，所有球队总得分为， 南方球队总得分为， 南方球队内部比赛得分为=28， 北方胜南方得分 . 例6、（交大冬令营）30个人排成矩形，身高各不相同。把每列最矮的人选出，这些人中最高的设为a；把每行最高的人选出，这些人中最矮的设为b。 （1） a是否可能比b高？（2）a和b是否可能相等？ 解析：（1）不可能 若a,b为同一人，有a=b； 若a,b在同一行、列，则均有a﹤b； 若a,b不在同一行、列，同如图1以5的矩形为例，记a所在列与b所在行相交的人为x, · 图1 因为a为a,、x列最矮的人，所以有a＜x； 因为b为b、x最矮的人，所以有b＞x； 于是有a＜x＜b 综上，不可能有，a＞b。 (2)有可能，不妨令30个人身高由矮至高分别为1,2,3，，如图2所示：此时有a=b=26 【素养提升】 1、设有个银圈，大小不同，从大到小排列在三根金棒中的一根。这些银圈要搬到另一根金棒上，每次搬一个。第三根金棒作为银圈暂时摆放用。在搬动过程中，仍要保持大圈在下，小圈在上，问要搬动多少次，才能将所有银圈从一根棒搬到另一根，且搬完后银圈相对位置不变？ 解得 2、在一