高中数学强基计划专题讲座17：转化思想

高中数学强基计划专题讲座17：转化思想 一、高斯模式（降维降次） 高斯的降维将次的思想是本系统内的化归，是单维化归方法。 例1、设实数满足条件，，其中，求的是最大值。 解：，∴ 从而， 当且仅当，，时等号成立。 即，，时，有最大值 二、笛卡尔模式（数形结合） 华罗庚说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，数形结合是沟通两个不同数学分支的化归方法，是二维化归。 例2（交大冬令营）、设函数，试讨论的性质（有界性、奇偶性、单调性和周期性），求其极值。 解析：由得是偶函数。 由得是周期函数，周期为 而当结合函数的周期性和奇偶性，可画出函数的图像。 有界。 函数在上单调增，在上单调减。 函数的最大值为，最小值为1. 例3、（复旦保送推优）求的最大值是 思路一：将y看作点与点连线的斜率。 解析：由于是在单位圆上，由图可知， 当PQ和圆相切如图时，斜率最大，设此时斜率为 则PQ方程为 由，解得(舍去) 所以的最大值是 思路二：利用辅助角公式及弦函数的有界性 解析：原式化为，即 而 所以，解得 所以的最大值是。 思路三：万能代换 解析：当且时， 当 综上的最大值是 三、欧拉模式（变换映射） 设是集合A到集合B的一个映射，即。 1．若集合B中的每一个元素在集合A中都有原象，则称为A到B内的满射。 2.若集合A中不同的元素在B中有不同的象，即对任何χ1，χ2∈A，χ1χ2蕴涵f(χ1) ≠f(χ2)，则称为A到B内的单射。 3．若为A到B内的满射，又是A到B内的单射，则称为A到B上的一一映射，又称为双射。 由这些基本本概念可见：若A、B为有限集，则对于满射有 ≥;对于单射,有≤，这里表示集合内A元素的个数，由此可得 配对原理：如果存在集合A到集合B的双射，则有=。 例4、从的棋盘中，取出一个由三个小方格组成的“L”型,如图1 图1 问共有多少种不同的取法. 解： 一个由四个小方格组成的“田”字形中可以取出4个“L”形，因此我们只需考察棋盘上可以取出多少个“田”字形.由于每个“四”字形的中心是棋盘内横线与纵线的一个交点（不包括边界点）；反过来，每个位于棋盘内部的交点，它四周的小方格恰好形成一个“田”字形图案，因此，映射“田”字形→“田”字形中心，它是棋盘上所有可取出的小方格组成的“田”形集合到棋盘内每个横线与纵线的交点集的双射（一一映射）.易知，棋盘内的交点数共有（个），所以棋盘上可取出49个“田”字形.而一个“田”字形对应着4个“L”形，故棋盘上共可取出个“L”形. 例5、（欧拉定理）求由1，2，3…，n这n个数组成的允许重复的r个数的数组的组数。 解 在1，2，3，…，n中任取一个允许重复的r个数，组成一个数组 ， （1） 其中。现将从第一个开始分别加上0，1，2，…，r-1得到r个数。显然，任意一个数组（1）对应于一个数组 ， （2） 其中。反之，每一个数组（2）中的分别减去0，1，2，…，r-1就得到一个数组（1）。设 ， ，则M和N的元素之间可以建立一一对应关系。故，又数组是从n+r-1个不同的数中任取r个数的不允许重复的组合，所以。 因此，n个不同的数组成的允许重复的r个数的数组的组数为 。 四、换元法 例7、求的图象与轴 交点坐标。 解： 令，可知是奇函数，且严格单调，所以 ，当时，，所以，故，即图象和轴交点坐标为 例9、已知数列满足关系式，则的值是_________________________。 解：设 即 故数列是公比为2的等比数列， 。 。 五、构造法 例10、（复旦保推优）试构造函数其定义域为（0,1），值域为。 （1）对于任意只有一解； （2）对于任意有无穷多个解。 思路：紧紧依据条件，从几何直观入手建构代数式 解析（1） (2) 例11、(复旦保送推优)求证： 解析：化为证明，构造实际生活模型来说明。 如下图，桶中小球互不相同，等式两边可以看作分别从左右两组桶中抽取n个小球的不同方法数。 例12、（清华大学）请写出一个整数系数多项式，使得是其一个根。 解 令，则 。 整理得：。 例13、（清华）有100个集装箱里面有200个货物.在取出来的过程中货物的顺序被打乱了，现要将它们按一定的规则重新装入集装箱中.将货物依次取出，依次放入集装箱中，集装箱的体积都是1，且每个集装箱最多放两个货物，若装了一个货物后装不下第二个，那么就将这个集装箱密封，把第二个货物装到下个集装箱中.比如原来有2个集装箱中的货物体积是（0.5，0.5），（0.7，0.3），被打乱顺序后为0.5，0.7，0.5，0.3，那么就需要3个集装箱去