高中数学强基计划专题讲座15： 归纳猜想

高中数学强基计划专题讲座15： 归纳猜想 在数学的领域中, 提出问题的艺术比解答问题的艺术更为重要. ——康扥尔(Cantor) 归纳是人类探索和发现真理的主要工具。哈尔莫斯：“数学是创造性的艺术，数学的创造绝不是单靠推论可以得到的，首先通常是一些模糊的猜测，揣摩着可能的推广，接着下了不十分有把握的结论。然后整理想法，直到看出事实的端倪，往往还要费好大的劲儿，才能将一切付诸逻辑式的证明。这过程并不是一蹴可几的，要经过许多失败、挫折，一再地猜测、揣摹，在试探中白花掉几个月的时间是常有的。”勾股定理的发现、二项式定理、三角形内角和定理、欧拉定理、哥德巴赫猜想等许多定理和猜想都来源于归纳，可见“没有大胆的猜想，就做不出伟大的发现”， 先猜后证——这是大多数发现之道。那么数学猜想有哪些策略呢？ “道生一，一生二，二生三，三生万物”，归纳是由特殊到一般的推理，是“似然”的合情推理。对于数学的发明或发现而言，归纳推理的巨大作用是演绎推理所无法代替的，他符合人类认识事物的基本规律。 【真题透析】 例1（交大冬令营）已知函数，对于定义，若则 分析： ，； 则,， 且， 又， 所以 例2、已知函数满足：，，则=_____________. 解析：取x=1 y=0得 法一：通过计算，归纳周期为6 法二：取x=n y=1,有f(n)=f(n+1)+f(n-1),同理f(n+1)=f(n+2)+f(n) 联立得f(n+2)= —f(n-1) 所以T=6 故=f(0)= 例4 在坐标平面上,对任意自然数n,连接原点O与点用表示线段上除端点外的整点个数,求 归纳： 猜想：当n不被3整除时，，当n被3整除时，， 解析：由题设，知直线OAn的方程为у=，于是，为解决本题，应先研究分数的可约性，易知n与n+3的最大公约数为 （n，n+3）= 若（n，n+3）=1，则线段OAn内无整点，事实上，若不然，设（m,l）是OAn内部的整点，则 1≤m<n,1≤l<n+3 因即m(n+3)=ln,故n|m,这与1≤m<n相矛盾。 若(n,n+3)=3,令n=3k，则直线OAn的方程为 因(k,k+1)=1，故OAn内部有且仅有2个整点(k,k+1)及(2k,k+2)，所以 f(1)+f(2)+…+f(2010)=2=1340。 例5、（交大冬令营）3个自然数倒数和为1，求所有的解。 猜想：不存在1这个数，当存在数2时，有2,3,6；2,4,4；当存在数3时有3,3,3. 解析：不妨设， 则﹤1﹤a≤3， 当a=2时， 当a=3时，. 答案是：2,3,6；2,4,4；3,3,3. 例6、已知函数f(x)的定义域为N，且对任意正整数x，都有f(x)＝f(x－1)＋f(x＋1) 若f(0)＝2010，求f(2010)的值。 解法一：归纳周期为6. 解法二：因为f(x)＝f(x－1)＋f(x＋1) 所以f(x＋1)＝f(x)＋f(x＋2) 两式相加得0＝ f(x－1)＋f(x＋2) 即：f(x＋3)＝－f(x) ∴ f(x＋6)＝f(x) f(x)是以6为周期的周期函数 2004＝6×334∴ f(2004)＝f(0)＝2004 例7、若数列满足，若，则的值为___________。 解：根据数列的递推关系得它的前几项依次为： ；我们看出这个数列是一个周期数列，三项为一个周期； . 【评注】有些题目，表面看起来无从下手，但你归纳出它的前几项后，就会发现规律，出现周期性，问题就迎刃而解。 例8、设，其中为实数，，， ，若，则 　 . [解] 由题意知 ， 由得，，因此，，． 例9、已知数列满足，求数列的通项公式。 解析：根据递推关系和得， 所以猜测，下面用数学归纳法证明它； 时成立（已证明） 假设时，命题成立，即， 则时，= =。 时命题成立； 由可知命题对所有的均成立。 【评注】归纳、猜想数学归纳法证明是我们必须掌握的一种方法。 例10（交大）口袋中有4个白球，2个黄球，一次摸2个球，摸到的白球均退回口袋，保留黄球，到第次两个黄球都被摸出，即第次时所摸出的只能是白球，则令这种情况的发生概率是，求。 解：根据题意 ， 由此类推 【自我检测】 1、定义在R上的函数f(x)满足f(x)= ，则f（2009）的值为( ) A.-1 B. 0 C.1 D. 2 【解析】:由已知得,,, ,, ,,, 所以函数f(x)的值以6为周期重复性出现.,所以f（2009）= f（5）=1,故选C. 答案:C. 2、已知定义在R上的奇函数，满足,且在区间[0,2]上是增函数,则( ).