高中数学强基计划专题讲座14：创新题型

高中数学强基计划专题讲座14：创新题型分析 【典型例题】 例1 非空集合G关于运算满足：(1)对任意的都有(2)存在都有则称G关于运算为“融洽集”.现给出下列集合和运算： 1 G＝｛非负整数｝,为整数的加法. 2 G＝｛偶数｝,为整数的乘法. 3 G＝｛平面向量｝,为平面向量的加法. 4 G＝｛二次三项式｝,为多项式的加法. 5 G＝｛虚数｝,为复数的乘法. 其中G关于运算为“融洽集”的是__________.(写出所有“融洽集”的序号) 分析：本题其实源自大学数学专业课中的《近世代数》,此题给出了一个新的概念“融洽集”, 考查学生在瞬间理解并且会运用此概念来判断以下给出的条件是否满足成为“融洽集”的能力. ①,满足任意,都有,且令,有,所以①符合要求. ②,若存在,则,矛盾,∴ ②不符合要求. ③,取,满足要求,∴ ③符合要求; ④,两个二次三项式相加得到的可能不是二次三项式,所以④不符合要求. ⑤,两个虚数相乘得到的可能是实数,∴ ⑤不符合要求.这样关于运算为“融洽集”的有①③. 例2、（清华大学）对于集合称为开集，当且仅当使得判断集合与是否为开集，并证明你的结论. 证 集合是开集：记到直线的距离为，则易见，集合集合不是开集：对于及任意集合 例3、设A是整数集的一个非空子集，对于，如果且，那么是A的一个“孤立元”，给定，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有 个. 【答案】6 .w【解析】本题主要考查阅读与理解、信息迁移以及学生的学习潜力,考查学生分析问题和解决问题的能力. 属于创新题型. 什么是“孤立元”？依题意可知，必须是没有与相邻的元素，因而无“孤立元”是指在集合中有与相邻的元素.故所求的集合可分为如下两类： 因此，符合题意的集合是：共6个. 故应填6. 例4、设S为复数集C的非空子集.若对任意，都有，则称S为封闭集。下列命题： ①集合S＝{a＋bi|（为整数，为虚数单位）}为封闭集；w_w_w.k*s 5*u.c o*m ②若S为封闭集，则一定有； ③封闭集一定是无限集； ④若S为封闭集，则满足的任意集合也是封闭集. w_w w. k#s5_u.c o*m 其中真命题是 （写出所有真命题的序号） 解析：直接验证可知①正确. 当S为封闭集时，因为x－y∈S，取x＝y，得0∈S，②正确 对于集合S＝{0}，显然满足素有条件，但S是有限集,③错误 取S＝{0}，T＝{0,1}，满足,但由于0－1＝－1T，故T不是封闭集，④错误 答案：①② 例5、设是已知平面上所有向量的集合，对于映射，记的象为。若映射满足：对所有及任意实数都有，则称为平面上的线性变换。现有下列命题： ①设是平面上的线性变换，，则 ②若是平面上的单位向量，对，则是平面上的线性变换； ③对，则是平面上的线性变换； ④设是平面上的线性变换，，则对任意实数均有。 其中的真命题是 （写出所有真命题的编号） 【答案】①③④ 【解析】①：令，则故①是真命题 同理，④：令，则故④是真命题 ③：∵，则有 是线性变换，故③是真命题 ②：由，则有 ∵是单位向量，≠0，故②是假命题 【备考提示】本小题主要考查函数，对应及高等数学线性变换的相关知识，试题立意新颖，突出创新能力和数学阅读能力，具有选拔性质。 例6、设集合,在S上定义运算为：,其中k为i+j被4除的余数,=0,1,2,3.则满足关系式的的个数为( ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 分析：本题以抽象代数中的运算系统为背景,考查学生在瞬间运用一个新的运算法则去解题的能力. ①不成立. ②成立. ③不成立. ④成立,满足条件的只有两个. 例7、（复旦）设集合X是实数集R的子集，如果点满足：对任意a＞0，都存在，使得0＜＜a，那么称为集合X的聚点，用Z表示整数集，则在下列集合：①,②,③④整数集Z中，以0为聚点的集合有（ ） A.②③ B.①④ C.①③ D. ①②④ 分析与解：这是一道学习型问题，根据定义，“聚点”这个概念应理解为以任意无穷小为半径，以为圆心的圆内都至少有的一个元素（不包括） 对集合①，若取，则不存在，满足0＜＜。显然②③是以0为聚点。对集合④若令（不是唯一的取法，也可取，只要＜1均可），则也不存在，使得0＜＜a 综上，应选A 注：“聚点”是高等数学中的一个重要概念，像这类高等数学的概念下放到中学考试中的现象，在自主招