高中数学强基计划专题讲座13：微积分

高中数学强基计划专题讲座13：微积分 一、数列极限 【知识拓展】 1、常用的几个数列极限： （1）(为常数)； （2）,(,为常数). （3）无穷递缩等比数列各项和公式(). （1），（）； （2），. （4）两个重要的极限 （1）； 证明：由三角不等式 三边同除以，即得 ， 再遍取倒数即可得到 注意，上式对于也成立。由于在过程中，总是被夹在之间，而 ， 因而三边同时取的极限时，被夹在中间的函数极限也只能是1。 （2）(e=2.718281845…). 2、函数的极限： ⑴当趋向于无穷大时，函数的极限为. ⑵当时函数的极限为.⑶掌握函数极限的四则运算法则. 3、极限的四则运算法则: ①函数的极限：如果,那么 ；；. （为常数）；. ②数列的极限：如果,那么 ；；. 【典型例题】 例1、（清华），求. 分析 观察条件的结构，可以联想到数列通项公式中的累加法。 解答 由，得 ~~~~~~~~~ 将以上各式累加，得 于是 又因为 所以 拓展 数列是特殊的函数，数列问题可以运用函数思想解决；同样，我们可以使用数列中的方法求解函数方程。 例2、（清华大学）设的整数部分为a，小数部分为b。 （1）求a，b。 （2）求。 （3）求。 解=。 (1) (2) (3) 由于 例3、（清华大学）设正三角形边长为是的中点三角形，为除去后剩下的三个三角形内切圆面积之和，.求 解 设的边长为，内切圆面积为 则所以 二、初等函数的基本性质 【知识拓展】 1、函数的连续性： ⑴如果对函数在点处及其附近有定义,且有,就说函数在点处连续； ⑵若与都在点处连续，则,, 也在点处连续； ⑶若在点处连续,且在处连续,则复合函数在点处也连续. （4）初等函数都是其定义域上的连续函数。 (5)函数在点处连续必须满足三个条件：①函数在点处有意义； ②存在；③. (6)如果函数在点处可导,那么在点处连续；如果函数在点处连续，在该点却不一定可导. 2、初等函数的基本性质 性质１（最大、最小值定理）若在闭区间上连续，则在上有最大值与最小值。 极值的第二充分条件：设f(x)在x0的某领域(x0-δ,x0+δ)内一阶可导，在x=x0处二阶可导，且。（1）若，则f(x)在x0处取得极小值；（2）若，则f(x)在x0处取得极大值。 性质２（有界性定理）若在上连续，则在上有界。 性质３（介值定理）设在上连续，且。若是介于和之 间的任何实数，则至少存在一点，使得。 性质４（根存在定理）　若在上连续，且和异号（）， 则至少存在一点，使得。 性质5、（零点定理）设函数在闭区间上连续，且，则方程在区间内至少有一个实根。 性质6（函数的夹逼性定理） 如果函数f(x)，g(x)，h(x)在点x0的附近满足： （1）; （2）（常数）,则. 性质7、Lagrange中值定理：若f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)上可导，则存在ξ∈(a,b)，使 [证明] 令F(x)=f(x)-,则F(x)在[a,b]上连续，在(a,b)上可导，且F(a)=F(b)，所以由9知存在ξ∈(a,b)使=0，即 性质8、曲线凸性的充分条件：设函数f(x)在开区间I内具有二阶导数，（1）如果对任意x∈I,,则曲线y=f(x)在I内是下凸的；（2）如果对任意x∈I,,则y=f(x)在I内是上凸的。通常称上凸函数为凸函数，下凸函数为凹函数。 琴生不等式：设α1,α2,…,αn∈R+，α1+α2+…+αn=1。（1）若f(x)是[a,b]上的凸函数，则x1,x2,…,xn∈[a,b]有f(a1x1+a2x2+…+anxn)≤a1f(x1)+a2f(x2)+…+anf(xn). 【典型例题】 1、拉格朗日中值定理中值定理 例1、已知函数如果是增函数，且存在零点（为的导函数。 （1）求a的值； （2）设是函数的图像上两点，的导函数。证明： 解析：（1）a=e。 （2）由（1）得 即. 将换成构造函数，定义域为 则，即在定义域上单调增， 。即同理可证 例2、已知函数f(x)=x－ax+(a－1)，。 （1）讨论函数的单调性； （2）证明：若，则对任意x，x，xx，有。 解：(1)的定义域为。 2分 （i）若即,则 故在单调增加。 (ii)若,而,故,则当时，; 当及时， 故在单调减少，在单调增加。 (iii)若,即,同理可得在单调减少，在单调增加. (II)考虑函数 则 由于1<a<5,故，即g(x)在(4, +∞)单调增加，从而当时有，即，故，当时，有· 例3、证明不等式 其中为大于1的实数，。 [思路] 利用拉格朗日定理证明。 证 设 （ 对于函数在区间上使用拉格朗日定理，有 因为则，，则有 因此有 所以有成立。 例4、已知函数 (1) 求函数的最