高中数学强基计划专题讲座12： 最值问题

高中数学强基计划专题讲座12： 最值问题 例1、（五校联考）正四棱锥的体积为.（1）求正四棱锥表面积及最小值. （2） 对正棱锥，有确定的，写出一个与无关的充要条件，使表面积最小. 解：设正棱锥侧高为，侧面与底面夹角为，则底边的外接圆半径底边长高为底面积故即表面积 记则，等号在时取得.对正棱锥，有确定的，当侧面与底面夹角为时，表面积最小.当时，最小表面积 例2、(复旦)一矩形的一边在x轴上，另两个顶点在函数，（）的图像上，如图2-3，求此矩形绕x轴旋转而成的几何体的体积的最大值. 方法一：令.不妨设，显然矩形绕x轴旋转而成的几何体为圆柱体，记体积为，则 = = =. 令，则 法二：设、是方程的两个根，且，则，故 例3、在平面直角坐标系中，有一个以和为焦点、离心率为的椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线C，动点P在C上，C在点P处的切线与轴的交点分别为A、B，且向量。求： （Ⅰ）点M的轨迹方程； （Ⅱ）的最小值。 解：（I）根据题意，椭圆半焦距长为，半长轴长为，半短轴长，即椭圆的方程为。 设点P坐标为（，）（其中），则 切线C的方程为： 点A坐标为：（，0），点B坐标为（0，） 点M坐标为：（，） 所以点M的轨迹方程为：（且） （II）等价于求函数 （其中）的最小值 当时等号成立，此时即。 因此，点M坐标为（，）时，所求最小值为。 例4、（五校联考）已知函数，过点A作与轴平行的直线交函数于,过作切线交于，求为何值时面积的最小值。 解，由导数的几何意义，在处的切线的斜率为，故切线方程为。如图3-1，令， 得点坐标 . ，不妨设＞0，再把看作以自变量为函数，则 ，令，则。 故的面积是. 图3-1 例5、（北大）如图3-2，A、B为上的y轴两侧的点，求过A、B的切线与x轴围成的最小值. 解 设，则 . 过A切线方程为，即 =. ① 过 B切线方程为=. ② 轴：. ③ ① ② ③ 两两成立，得3个交点、、.不妨设，令，，则， 所以=. 令，，则，即，所以 == . 其中等号成立的条件是，即A、B关于轴对称. 令，则. 令 ，有或（舍）. 所以，故. 【素养提升】 1、函数在上的最小值是___________________. [解] 当时，，因此 ，当且仅当时上式取等号．而此方程有解，因此在上的最小值为2． 2、若函数有最小值，则a的取值范围是_____________. 解：当时，是递减函数，由于没有最大值，所以没有最小值；当时，有最小值等价于有大于0的最小值．这等价于，因此． 3.（浙大）实数满足，则的最大值为 。 解： 。 由此可得，其中等号成立当且仅当 。 4.将边长为1m正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记,则S的最小值是____ 。 [解析] 考查函数中的建模应用，等价转化思想。一题多解。 设剪成的小正三角形的边长为，则： （方法一）利用导数求函数最小值。 ， ， 当时，递减；当时，递增； 故当时，S的最小值是。 （方法二）利用函数的方法求最小值。 令，则： 故当时，S的最小值是。 5、定长为l(l>)的线段AB的端点在双曲线的右支上，则AB中点M的横坐标的最小值为（ ） A、 B、 C、 D、 解析：如图，作出双曲线的右准线，过A，B作AA′、BB′垂直于准线，垂足为A′，B′。又过AB的中点M作MM′垂直于准线，垂足为M′，则求M点横坐标的最小值，实质上是求线段|MM′|的最小值.F A' A B B ' M M ' O y 因为|MM′|=(|AA′|+|BB′|)， ⑴ 据双曲线的第二定义：=e, 可得|AA′|=|AF|，|BB′|=|BF|， 将此二式代入⑴，结合三角形两边之和大于第三边可得： |MM′|=(|AF|+|BF|)≥|AB|， 当且仅当A、F、B三点共线时，即AB过焦点F时，有|AF|+|BF|=|AB|。 即|MM′|min=|AB|=， 此时x―==. 故x=+. 选(D) 6．为实数，满足，则 的最大值为 . 答： . 解：设，则 ，（当时取等号）. 7．函数在时的最小值为_________. 解： （由调和平均值不等式） 要使上式等号成立，当且仅当 （1）－（2）得到，即得。因为， 所以当时，。所以 因此应选（B）。 8、点M和F分别是椭圆上的动点和右焦点，定点B(2,2).⑴求|MF|+|MB|的最小值. ⑵求|MF|+|MB|的最小值.M F x F ' O y B 解