高中数学强基计划专题讲座11：复数与多项式

高中数学强基计划专题讲座11：复数与多项式 [考点梳理] 1、复数的概念 复数z的表示法有三种： （1）代数形式：； （2）三角形式：； （3）指数形式：,角是z的辐角， 2关于共轭复数与复数模的性质运算 （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）设为实系数多项式，若则 （7）； （8）； （9）（注意取等号的条件） （10）. （11）对于两组复数，则 ，式中等号除成立外，当且仅当存在实数，使（许瓦尔兹不等式）. （12）几个重要的结论： ⑴；⑵；⑶若为虚数,则. （13）注意以下结论：⑴；⑵,；⑶； 1⑷. （4）对虚数单位,有. 3、复数的方程与单位根 方程的n个根叫做n次单位根. 特别地，全部n次单位根可以表示为 当n是奇数时，除1外，其余的n次单位根都不是实数； 当n是偶数时，除外，其余的n次单位根都不是实数，并且有 特别地，三次单位根通常记为其中，则 单位根的主要性质有： （1）两个n次单位根的乘积仍是一个n次单位根，且 当时，，其中是除以的余数 （2）对非负正数m，有， （3）设m是非负整数，，则 （4） 4、复数及其运算的几何意义： （1）非零复数与复平面内的点一一对应；或与向量一一对应 （2）|z|表示复数z对应的点Z到原点的距离. 设复平面内任意两点，其对应复数分别为 （3）两点间的距离： ， （4）定比分点所对应的复数：设Z为线段上的一点，且，则. 特别地，若Z为的中点，则. 平面上三点共线的充要条件是：存在三个不全为0的实数，使得，并且 （5）三角形的重心：设是复平面内不共线三点，其对应复数分别为,则△的重心所对应的复数. （6）三角形的垂心：当原点在△的外心的位置时，其垂心Z对应的复数为. （7）两直线的夹角：复平面上三点对应复数分别为,则. （8）平行、垂直、共线、四点共圆：在复平面上的A、B、C、D四点对应的复数是，以k表示一实数，则 ①的充要条件是AB∥CD； ②的充要条件是AB⊥CD； ③A、B、C三点共线的充要条件是. ④A、B、C、D四点共圆的充要条件是 是实数. （9）复数加减法的几何意义：两个复数的和与差，对应这两个向量构成的平行四边形的两条对角线所对应的复数， （10）复数乘除法的几何意义：复数的乘法与除法对应平面向量的伸缩与旋转. 5、几种常见曲线的复数形式方程： 动点，定点分别表示复数 （1）圆：，以为圆心，r为半径的圆； （2）开圆域：； （3）圆环域：； （4）线段的垂直平分线：； （5）椭圆：，是椭圆的两个焦点，是长轴长；. （6）双曲线：. 6、多项式 （1）多项式的概念 若干个多项式的和组成的式子叫做多项式，多项式中每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高次数，就是这个多项式的次数．不含字母的项叫做常数项． （2）代数基本定理 代数基本定理是指一元ｎ次（复数）多项式都有ｎ个复根． （3）高次方程的韦达定理 如果一元ｎ次多项式的根是 ，那么有： [典型例题] 例1、（五校联考）实部为，求虚部（实数） 、解： 故虚部 例2、（清华大学2009）求值：。 解= = = =。 由于，因此=。 例3、（上海交大联读班、保送生），是虚数，则_____ 分析：是1的三次方根，且为虚数，那么有．再根据，可知，，，由此，可以对n进行讨论，随着n的变化答案会有变化． 解：由，∴，那么有，，， 当时， 当+1时， 当时， 【点评】含有n的题目，要时常想到对n进行分类讨论，特别是对于有类似于的条件的题目． 例4、（复旦）已知，，，则__________. 分析：已知复数的模，要求，要把模的条件转化成复数之间的运算，那么应从入手做这道题．得到，后又怎么消掉呢？ 解：由题意， , 【点评】这道题巧妙地运用了复数的性质，由条件变形得到．再运用换元法，把看成了一个整体去求，换元法在复数的题目中叶是适用的．读者也可以思考一下，根据复数的几何表示是向量，我们是否可以运用向量，构造一个三角形，解决这道题呢？ 例5、（复旦基地班）设复数，满足，， 其中是虚数单位，a是非零实数，求． 分析：题目又是要求的一道题，因为已知有，是否可以用其他方法表示呢？其实根据复数的性质有，这也是给了一个除了换元法外，另一个求的方法． 解：由，得， 【点评】运用复数的性质，由已知的条件凑出未知的复数值．在实数的题目中经常用到这点，实数题目中的解题思路在复数中也是适用的． 例6、（清华）求最小的正整数n，使得为纯虚数，并求出I． 分析：对于复数n次幂的问题，主要是运用复数的三角形式去解决，把I写成三角形式，再对辐角进行讨论即可． 解： 【点评】对于复数运算，特别是次方根和n次幂问题，最常用的方法是运用复数三角形