高中数学强基计划专题讲座10：函数与导数

高中数学强基计划专题讲座10：函数与导数 【考点梳理】 1.导数的定义：在点处的导数记作. 在处的导数（或变化率或微商） . （5）瞬时速度 . （6）瞬时加速度 . （7）在的导数 . 2.可导与连续的关系：如果函数在点处可导,那么函数在点处连续,但是在点处连续却不一定可导. 3.函数在点处有导数,则的曲线在该点处必有切线,且导数值是该切线的斜率.但函数的曲线在点处有切线,则在该点处不一定可导.如在有切线,但不可导. 4.函数在点处的导数的几何意义是指：曲线在点处切线的斜率,即曲线在点处的切线的斜率是,切线方程为. 5.常见函数的导数公式:(为常数)；.；； ；；. 6.导数的四则运算法则：；；. 7.复合函数的导数：. 8.导数的应用： (1)利用导数判断函数的单调性：设函数在某个区间内可导,如果,那么为增 函数；如果,那么为减函数；如果在某个区间内恒有,那么为常数； (2)求可导函数极值的步骤：①求导数；②求方程的根；③检验在方程 根的左右的符号，如果左正右负,那么函数在这个根处取得最大值；如果左负 右正,那么函数在这个根处取得最小值； (3)求可导函数最大值与最小值的步骤：①求在内的极值；②将在各极值点 点的极值与、比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值. 【真题透析】 一、单调性问题 例1、（清华大学）求的单调区间及极值. 解 当时，当时，因此在和上单调递减，在上单调递增，极小值为 例2、已知函数，． （Ⅰ）讨论函数的单调区间； （Ⅱ）设函数在区间内是减函数，求的取值范围． 【分析及解】（Ⅰ）∵ ，导函数是二次函数，开口向上， ，下面讨论方程根的情况。分，，来讨论。 ①：，即，或时，方程有两个不同实根，， 当或时， ， 当时，，∴在，上为增函数，在上为减函数。 ②，即时，则对所有都有，故此时在上为增函数 ③，即时，则对所有且都有，故此时在上为增函数 综上知：当时，在上为增函数，当，或时， 在，上为增函数，在上为减函数。 （Ⅱ）本问把函数思想与数形结合思想结合起来，可获得简单的解法，即 若函数在区间内是减函数，则说明对任意恒成立，转化为一元二次不等式在给定区间上恒成立问题，结合二次函数图象，只需两根在区间外即可， 即只需 即解之得满足条件，所以实数的取值范围是． 二、解决极值，极值点、最值等问题 例3、（武大）已知，其中e为自然对数的底. （1） 若函数的导函数在[0,+）上是增函数，求实数的最大值； （2） 求证：，. 解 （1）.由于在[0,+）上是增函数，故=，从而，，所以，即. （2）有（1）知，且当时，在[0,+）上是增函数，故，所以在上是增函数，且，故，，即，.从而有， 例4、(清华)一元三次函数的三次项系数为,的解集为(1,2). （1）若有两个相等的实数根，求的解析式； （2）若在R上单调递减，求的范围. 解 设则因 故解得故 （1） 由条件，或由的解集为得舍去，故 因在上单调增加，故的解集为实数集即故的取值范围为 例5、已知函数恰有一个极大值点和一个极小值点，其中一个是 （Ⅰ）求函数的另一个极值点； （Ⅱ）求函数的极大值M和极小值m，并求时k的取值范围. 【分析及解】（I）∵是函数的一个极值点， ∴即得∵ ∴由此可知 ， ，即，由此方程的一个根为，另一个根由韦达定理容易计算为或 ∴函数的另一个极值点为（或） （II）由（I）知，现画一个函数图帮助理解， ∵且，则图象如图所示， ∴或， 1 当，即时，当或时，当时，上是增函数，在上是减函数， ∴， 又，∴，即，解之得满足。 ②当，即时，当或时，当时，∴上是减函数，在上是增函数， ∴，又，∴， 即，解之得或，结合，∴ 综上可知，所求k的取值范围为 三、解析几何中的切线问题 例6、设函数曲线y=f（x）通过点（0，2a+3），且在点处的切线垂直于y轴. （Ⅰ）用a分别表示b和c； （Ⅱ）当bc取得最小值时，求函数的单调区间. 【分析及解】（Ⅰ）由已知，即 ∵，依题意，即，∴ （Ⅱ）由（Ⅰ）得 故当时，取得最小值－. 此时有从而， ， 所以，令， 解之得，当或时，，从而在，上为减函数，当时，，从而在上为增函数， 由此可见，函数的单调递减区间为，，单调递增区间为 例7、已知函数的图像与直线 有且仅有三个交点，交点的横坐标的最大值为，求证： 　　　　　　． [证] 的图象与直线 的三个交点如答13图所示，且在内相切，其切点为，． 由于，，所以，即． …10分 因此 …15分 ．