高中数学强基计划专题讲座9： 概率统计

高中数学强基计划专题讲座9： 概率统计 【考点梳理】 1、等可能事件的概率公式：⑴； ⑵互斥事件有一个发生的概率公式为： ；⑶相互独立事件同时发生的概率公式为；⑷独立重复试验概率公式；⑸如果事件与互斥，那么事件与、与及事件与也都是互斥事件；⑹如果事件、相互独立，那么事件、至少有一个不发生的概率是；（6）如果事件与相互独立，那么事件与至少有一个发生的概率是. 2.二项分布记作为参数),,记. … … … … 3.记住以下重要公式和结论： ⑴期望值. ⑵方差. ⑶标准差；. ⑷若(二项分布),则, . ⑸若(几何分布),则,. 4.掌握抽样的三种方法：⑴简单随机抽样(包括抽签法和随机数表法)；⑵(理)系统抽样,也叫等距抽样；⑶分层抽样(按比例抽样),常用于某个总体由差异明显的几部分组成的情形.它们的共同点都是等概率抽样.对于简单随机抽样的概念中,“每次抽取时的各个个体被抽到的概率相等”.如从含有个个体的总体中,采用随机抽样法,抽取个个体,则每个个体第一次被抽到的概率为,第二次被抽到的概率为,…,故每个个体被抽到的概率为,即每个个体入样的概率为. 5.总体分布的估计：用样本估计总体，是研究统计问题的一个基本思想方法,一般地,样本容量越大,这种估计就越精确,要求能画出频率分布表和频率分布直方图；⑴学会用样本平均数 去估计总体平均数；⑵会用样本方差去估计总体方差及总体标准差；⑶学会用修正的样本方差去估计总体方差,会用去估计. 6.正态总体的概率密度函数：,式中是参数,分别表示总体的平均数与标准差； 7.正态曲线的性质：⑴曲线在时处于最高点,由这一点向左、向右两边延伸时,曲线逐渐降低；⑵曲线的对称轴位置由确定；曲线的形状由确定,越大,曲线越矮胖；反过来曲线越高瘦.⑶曲线在轴上方，并且关于直线x= 对称； 8.利用标准正态分布的分布函数数值表计算一般正态分布的概率,可由变换而得,于是有. 9.假设检验的基本思想：⑴提出统计假设，确定随机变量服从正态分布；⑵确定一次试验中的取值是否落入范围；⑶作出推断：如果,接受统计假设；如果,由于这是小概率事件,就拒绝假设. 【典型例题】 例1、（清华大学）随机挑选一个三位数。求： （1）含有因子5的概率。 （2）中恰有两个数码相等的概率。 解（1）三位数有个，不含5的有个，因此 概率。 （2）含两个0的有9个，含两个其他数的有个，因此 概率= 例2、（2010五校联考）已知基因型为AA、Aa、aa的比例为，且。 （1）求子一代AA、Aa、aa的比例； （2）子二代与子一代的比例是否相同？ 解：（1）子一代比例： （1） 子二代比例： 子二代与子一代比例相同： 例3、（交大）两名射手轮流向同一目标射击，射手甲和射手乙命中目标的概率都是 ．若射手甲先射，谁先命中目标谁就获胜，试求甲、乙两射手获胜的概率． 解：设甲获胜为事件A，乙获胜为事件B 由题意： 设在第次甲命中目标（）， ＝ 设在第次乙命中目标（）， ＝ 例4、甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是和.假设两人射击是否击中目标，相互之间没有影响；每次射击是否击中目标，相互之间没有影响. (Ⅰ)求甲射击4次,至少1次未击中目标的概率; (Ⅱ)求两人各射击4次,甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率; (Ⅲ)假设某人连续2次未击中目标,则停止射击.问:乙恰好射击5次后,被中止射击的概率是多少? （1）设“甲射击4次，至少1次未击中目标”为事件A，则其对立事件为“4次均击中目标”，则 （2）设“甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次”为事件B,则 （3）设“乙恰好射击5次后，被中止射击”为事件C,由于乙恰好射击5次后被中止射击,故必然是最后两次未击中目标，第三次击中目标，第一次及第二次至多有一次未击中目标。 故 例5、（清华特色）在蒲丰投针实验中，平行线间距为a，针长为b，试求针与线相交概率与a、b的关系，并求什么情况下概率是？ 解：令表示针的中点；表示针头在平面上时，与最近一条平行线的距离；表示针与最近一条平行线的交角。显然，，。 取直角坐标图示，上式表示坐标系中的一个矩形。而是使针与平行线（此线必与点最近的平行线）相交的充分必要条件。不等式表示图中阴影部分。我们把抛掷针到平面上这件事理解为具有“均匀性”。因此，这个问题等价于向区域中“均匀分布”地投掷点，求点落入阴影部分的概率。由积分有关知识，阴影部分的面积为。 故。特别地，当时，所求的概率是。 例6、猎人在距离100米时开始射击野兔，命中率是。如果第一次未射中，则进行第二次射击，但此时射击距离为1