高中数学强基计划专题讲座8：计数原理(组合选讲)

高中数学强基计划专题讲座8：计数原理（组合选讲） 【考点梳理】 1.排列、组合数公式:,当时为全排列. ,. 2.组合恒等式： （1）组合数性质；；；； （2）；即；； （3）；. （4）=;（5）. (6). (7). (8). (9). (10). 3、二项式定理： ⑴掌握二项展开式的通项：； ⑵注意第r＋1项二项式系数与第r＋1项系数的区别. 4.二项式系数具有下列性质： ⑴与首末两端等距离的二项式系数相等；⑵若为偶数,中间一项(第项)的二项式系数最大；若为奇数,中间两项(第和项)的二项式系数最大. （2）近似计算、整除问题、结合放缩法证明与指数有关的不等式、用赋值法求展开式 的某些项的系数的和如展开式的各项系数和为,奇数项系数和为 ,偶数项的系数和为. 5.排列组合主要解题方法： ①优先法：特殊元素优先或特殊位置优先；②捆绑法(相邻问题)；③插空法（不相邻问题）；④间接扣除法；(对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉）⑤多排问题单排法;⑥相同元素分组可采用隔板法（适用与指标分配，每部分至 少有一个）；⑦先选后排,先分再排(注意等分分组问题)；⑧涂色问题(先分步考虑至某一步时再分类).⑨分组问题：要注意区分是平均分组还是非平均分组,平均分成组问题别忘除以. 6单条件排列 以下各条的大前提是从个元素中取个元素的排列. （1）“在位”与“不在位” ①某（特）元必在某位有种；②某（特）元不在某位有（补集思想）（着眼位置）（着眼元素）种. （2）紧贴与插空（即相邻与不相邻） ①定位紧贴：个元在固定位的排列有种. ②浮动紧贴：个元素的全排列把k个元排在一起的排法有种.注：此类问题常用捆绑法； ③插空：两组元素分别有k、h个（），把它们合在一起来作全排列，k个的一组互不能挨近的所有排列数有种. （3）两组元素各相同的插空 个大球个小球排成一列，小球必分开，问有多少种排法？ 当时，无解；当时，有种排法. （4）两组相同元素的排列：两组元素有m个和n个，各组元素分别相同的排列数为. 7．分配问题 （1）(平均分组有归属问题)将相异的、个物件等分给个人，各得件，其分配方法数共有. （2）(平均分组无归属问题)将相异的·个物体等分为无记号或无顺序的堆，其分配方法数共有 . （3）(非平均分组有归属问题)将相异的个物体分给个人，物件必须被分完，分别得到，，…，件，且，，…，这个数彼此不相等，则其分配方法数共有. （4）(非完全平均分组有归属问题)将相异的个物体分给个人，物件必须被分完，分别得到，，…，件，且，，…，这个数中分别有a、b、c、…个相等，则其分配方法数有 . （5）(非平均分组无归属问题)将相异的个物体分为任意的，，…，件无记号的堆，且，，…，这个数彼此不相等，则其分配方法数有. （6）(非完全平均分组无归属问题)将相异的个物体分为任意的，，…，件无记号的堆，且，，…，这个数中分别有a、b、c、…个相等，则其分配方法数有. （7）(限定分组有归属问题)将相异的（）个物体分给甲、乙、丙，……等个人，物体必须被分完，如果指定甲得件，乙得件，丙得件，…时，则无论，，…，等个数是否全相异或不全相异其分配方法数恒有 . 8．“错位问题”及其推广 贝努利装错笺问题：信封信与个信封全部错位的组合数为： . 推广: 个元素与个位置,其中至少有个元素错位的不同组合总数为 . 【真题透析】 例1（清华大学）甲、乙、丙、丁等七人排成一排，要求甲在中间，乙丙相邻，且丁不在两端，则不同排列法共有 （ ） A. 24种 B. 48种 C. 96种 D. 120种 解：甲、乙、丙、丁等七人按要求站成一排后，从左至右依次编号为1,2,3,4,5,6,7. 显然，甲必修站在第4号位置上，下面根据丁的站位分类讨论： （1）当丁站在2或6号位置上时，符合要求的排列法有：种； （2）当丁站在3或5号位置上时，符合要求的排列法有：种。 （法二）： （1）当乙丙站在“1与2号”或“6与7号”位置上时，符合要求的排列法有：种。 （2）当乙丙站在“2与3号”或“5与6号”位置上时，符合要求的排列法有：种。 例2.若，其中，，并且，则实数对表示平面上不同点的个数为 （ ） A. 60个 B. 70个 C. 90个 D.120个 解：由及题设知，个位数字的选择有5种，因为，故，（1）由知，前两位数字的可能选择有种； （2）由及知，首位数字的可能选择有种。 于是，符合题设的不同点的个数为种，故选C。 例3、（上海交通大学）的末尾有连续 个0. 解