高中数学强基计划专题讲座7：圆锥曲线

高中数学强基计划专题讲座7：圆锥曲线 （本专题包括知识点梳理、典型例题、素养提升和最新真题精选） 【知识梳理】 1. 焦半径公式： （1）椭圆设为椭圆上任一点,焦点为,, 则(“左加右减”)； （2）双曲线焦半径：设为双曲线上任一点,焦点为,,则：⑴当点在右支上时,；⑵当点在左支上时,,；(为离心率).另：双曲线的渐近线方程为. （3）抛物线焦半径公式：设为抛物线上任意一点,为焦点,则 ；上任意一点,为焦点，则. 2、常见的曲线系方程： ⑴过曲线,的交点的曲线系方程是 (为参数).⑵共焦点的有心圆锥曲线系方程,其中.当时,表示椭圆；当时,表示双曲线. 3.直线与圆锥曲线相交的弦长公式 或 (弦端点,由方程消去得到,,为斜率). 这里体现了解几中“设而不求”的思想； 4. 通径 (1)椭圆的通径(过焦点且垂直于对称轴的弦)长为； (2) 双曲线的通径(过焦点且垂直于对称轴的弦)长为. （3）抛物线的通径长为. （4）椭圆、双曲线的焦准距为,抛物线的焦准距为； （5） 双曲线的焦点到渐近线的距离为； 5、.中心在原点,坐标轴为对称轴的椭圆,双曲线方程可设为(对于椭圆)；共渐近线的双曲线标准方程为(为参数,). 对于抛物线上的点的坐标可设为,以简化计算. 6.抛物线的焦点弦（过焦点的弦）为,、,则有如下结论： ⑴；⑵,； ⑶.（4）抛物线的焦点弦长,其中是焦点弦与x轴的夹角； 7、焦点弦与焦点三角形： (1)P是椭圆上一点,F、F是它的两个焦点,∠FP F=θ，则△P F F的面积=. 定理是椭圆的焦点,是椭圆上的点,且,则的面积为 证明 设,则,两边平方并整理,得①.又由余弦定理得,即②.由①,②得 (2)P是双曲线上一点,F、F是它的两个焦点,∠FP F=θ，则△P F F的面积=. （3）椭圆左焦点弦,右焦点弦. 8.圆锥曲线中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解.在椭圆中,以为中点的弦所在直线斜率；在双曲线中,以为中点的弦所在直线斜率；在抛物线中,以为中点的弦所在直线的斜率. 9.切线方程： 椭圆的切线方程 (1)椭圆上一点处的切线方程是. （2）过椭圆外一点所引两条切线的切点弦方程是 . （3）椭圆与直线相切的条件是. 双曲线的切线方程 (1)双曲线上一点处的切线方程是. （2）过双曲线外一点所引两条切线的切点弦方程是 . （3）双曲线与直线相切的条件是. 抛物线的切线方程 (1)抛物线上一点处的切线方程是. （2）过抛物线外一点所引两条切线的切点弦方程是. （3）抛物线与直线相切的条件是. 10对称： （1）圆锥曲线关于点成中心对称的曲线是. （2）圆锥曲线的两类对称问题 （1）曲线关于点成中心对称的曲线是. （2）曲线关于直线成轴对称的曲线是： . （3）“四线”一方程 对于一般的二次曲线，用代，用代，用代，用代，用代即得方程 ，曲线的切线，切点弦，中点弦，弦中点方程均是此方程得到. 11、求轨迹方程的常用方法： ⑴直接法：直接通过建立、之间的关系，构成,是求轨迹的最基本的方法. ⑵待定系数法：可先根据条件设所求曲线的方程,再由条件确定其待定系数,代回所列的方程即可. ⑶代入法(相关点法或转移法). ⑷定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某已知曲线的定义,则可由曲线的定义直接写出方程. ⑸交轨法(参数法)：当动点坐标之间的关系不易直接找到,也没有相关动点可用时,可考虑 将、均用一中间变量(参数)表示,得参数方程,再消去参数得普通方程. 12.解析几何与向量综合的有关结论： ⑴给出直线的方向向量或.等于已知直线的斜率或； ⑵给出与相交,等于已知过的中点； ⑶给出,等于已知是的中点; ⑷给出,等于已知与的中点三点共线; ⑸给出以下情形之一： ①； ②存在实数,使； ③若存在实数, 且；使,等于已知三点共线. ⑹给出,等于已知是的定比分点,为定比,即 ⑺给出,等于已知,即是直角,给出,等于已 知是钝角或反向共线,给出,等于已知是锐角或同向共线. ⑻给出,等于已知是的平分线. ⑼在平行四边形中,给出,等于已知是菱形. ⑽在平行四边形中,给出,等于已知是矩形. ⑾在中,给出，等于已知是的外心(三角形的外心是外接圆 的圆心,是三角形三边垂直平分线的交点). ⑿在中,给出，等于已知是的重心(三角形的重心是三角形 三条中线的交点). ⒀在中,给出，等于已知是的垂心(三角形的垂心 是三角形三条高的交点). ⒁在中,给出等于已知通过的内心. ⒂在中,给出等于已知是的内心(三角形内切圆 的圆