高中数学强基计划专题讲座6：不等式

高中数学强基计划专题讲座6：不等式 【知识梳理】 1.重要不等式,(1)均值不等式：若,则(当且仅当时取等号)使用条件：“一正二定三相等 ” 常用的方法为：拆、凑、平方等；(2)， (当且仅当时,取等号)；(3)公式注意变形如：,；(4)若,则(真分数的性质)； 2.含绝对值不等式：同号或有；异号或有 . 3.证明不等式常用方法： ⑴比较法：作差比较：.注意：若两个正数作差比较有困难,可以通过它们的平方差来比较大小； ⑵综合法：由因导果； ⑶导引法：执果索因.基本步骤：要证… 需证…,只需证…； ⑷反证法：正难则反； ⑸放缩法：将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的. 放缩法的方法有：①添加或舍去一些项,如：；.②将分子或分母放大(或缩小) ③利用基本不等式,如：.④利用常用结论： ； (程度大)； (程度小)； ⑹换元法：换元的目的就是减少不等式中变量,以使问题化难为易,化繁为简,常用的换元有三角换元 代数换元.如：知,可设；知,可设, ()；知,可设；已知,可设. ⑺最值法,如：,则恒成立.,则恒成立. 4、极值定理：已知都是正数，则有 (1)如果积是定值，那么当时和有最小值； (2)如果和是定值，那么当时积有最大值. 一般形式：设，，…，是个正的变数，则 （1）当积是定值时，和有最小值，且 ； （2）当和是定值时，积有最大值，且 5、解不等式： （1）解一元二次不等式:若,则对于解集不是全集或空集时,对应的解集为“大两边，小中间”.如:当,； . （2）含有绝对值的不等式：当时，有 ①； ②或. （3）分式不等式： （1）； （2）； （3） ； （4）. （4）指数不等式与对数不等式 (1)当时,；. (2)当时,；. 6、重要不等式 （1）柯西不等式设，则 等号成立当且仅当时成立。（约定时，） 此式当且仅当ad=bc时取“=”号． 证法一：若，则柯西不等式显然成立. 若不全为零，令. 一方面，因.另一方面,由＞0，恒成立，此即柯西不等式,等号成立的条件是（） 证法二：我们将平面向量、空间向量推广到n维向量.令，，，由于，故 ， 等号成立的条件是、共线，即（）. 推论ⅰ．设同号（），则 当且仅当时取等号。 推论2：若，且，则 柯西不等式经常用到的几个特例（下面出现的，…，；，…，都表示实数）是： （1），，则 （2） （3） （4）对任意实数a, b, c, d，有 (a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2， （I） （2）排序不等式 设有两个有序数组及，则 （顺序和） （乱序和） （反序和） 其中是的任一排列，当且仅当或时等号成立。 利用排序不等式可得 （3）切比雪夫不等式： 若，，则 证明：由题设和排序不等式，有 =， ， …… 将上述n个不等式叠加后，两边同除以n2，即得欲证的不等式. （4）贝努利不等式 （1）设，且同号，则 （2）设，则 （ⅰ）当时，有； （ⅱ）当或时，有，上两式当且仅当时等号成立。 不等式（1）的一个重要特例是 （） 【典型例题】 例1、（科大）求证：对于任意R，不等式总成立。 导引一 待证的不等式中出现等元素，可通过配方将它们联系起来，于是想到了（求差）比较法。 证法一 当且仅当且即且时取“=”， 。 导引二 由对称性，易知当时取等号，又，当时，，于是想到了综合法。 证法二 ∵， ∴三式相加便得（当且时取“=”）。 例2、（南大）若正数满足，求证：。 导引一 退一步，若正数满足，求证：，而这个不等式的证明通常是借助基本不等式和函数的单调性；进一步，本题也可尝试用综合法和函数单调性证明。 证法一 当且仅当时，“”取“=”）。 设在内为递减函数。 又， ∴ （当且仅当时，取“=”）。 【点评】本题的推广：若，则 导引二 从等号成立条件入手，此时。于是有证法二。 证法二 （共9个）。 同理，有 又， （当且仅当时取“=”）。 【点评】可证明本题的初步推广：若正数满足，则 。 例3、设，求证：中至少有一个不大于。 导引 本题就是要证明：或，它包括三种情况，且其中任一种都不能直接证明，但其否定只有一种情况：且，故用反证法试试。怎样导出矛盾？需从,b的结构和整体思维（即和、积……）考虑，是证明？还是不妨一试。 证明 假设且，则。 （1） 又 当（且时取“=”）， （2） ∵（1）与（