高中数学强基计划专题讲座3： 三角函数

高中数学强基计划专题讲座3： 三角函数 【考点梳理】 1.理解角：（1）终边与终边相同；终边与终边共线；终边与终边关于轴对称；终边与终边关于轴对称 ；终边与终边关于原点对称；终边与终边关于角终边对称. （2）角的范围：异面直线所成角；直线与平面所成角；二面角和两向量的夹角；直线的倾斜角；到的角；与的夹角.注意术语:坡度、仰角、俯角、方位角等. 2.弧长公式：；扇形面积公式：；弧度()≈. 3.诱导公式： ；. 可用“奇变偶不变，符号看象限”概括； (注意：公式中始终视a为锐角) 4、角的变换：已知角与特殊角、已知角与目标角、已知角与其倍角或半角、两角与其和差角等变换. 如：；；；； 等；“”的变换：； ①；； . ②；. ③=(其中,辅助角所在象限由点所在的象限决定, ). ④半角公式； ；； . ⑤万能公式：；；. 5.和差化积与积化和差公式: sinα+sinβ=2sincos,sinα-sinβ=2sincos, cosα+cosβ=2coscos, cosα-cosβ=-2sinsin, sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)],cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)], cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)],sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)]. 重要结论：其中）； 常见三角不等式 （1）若，则. (2) 若，则. (3) . 6、正弦型曲线的对称轴；对称中心； 余弦型曲线的对称轴；对称中心； 7三角形中的基本结论： 在中,易得：, ①,,. ②,,. ③ ④锐角中,,,,类比得钝角结论. ⑤. 8.重要性质 （1）正弦定理：； （2）余弦定理：； （3）正弦平方差公式：；三角形的内切圆半径； （4）面积公式：； （5）射影定理：. （6）三角函数符号(“正号”)规律记忆口诀：“一全二正弦,三切四余弦”. 注意： ；； （7）三角函数同角关系中(八块图)：注意“正、余弦三兄妹 、”的关系. 如等. 【典型例题】 例1、（北大），求证：． 【解析】 不妨设，则，且当时，．于是在上单调增．∴．即有． 同理可证． ，当时，．于是在上单调增。 ∴在上有。即。 注记：也可用三角函数线的方法求解． 例2（北大）存不存在，使得为等差数列． 解：不存在；否则有， 则或者． 若，有．而此时不成等差数列； 若，有．解得有． 而，矛盾！ 例3、(五校联考)（1）已知在中，求. （2） 求的最值. 解：（1） 角所对的边 （2） 的最小值不存在，最大值为 例4、（复旦保送推优）解三角方程：，为一实常数。 解析： 由 当 从而当且仅当 同理：当且仅当 所以： -10﹤a﹤10,无解 例5、（清华自招），求的取值范围。 解析： 所以即 。 例6、（复旦自招）已知求 解析：构造数列，其中，则因为 所以 考察其特征根方程 当它有两个不同实数解 设数列的通项公式为， 由可解得（当时，，只需待定，而） 所以 当综上所述， 例7、（浙大）已知为的三个内角，求证： 分析：要证明的不等式两边边角共存，仔细观察可发现“角”的形式出现较多，因而应该用正弦定理将边转化为角，然后就可以利用三角公式进行恒等变形。 解答： 得证。 拓展：处理三角形中的三角函数问题，关键在于利用正弦定理、余弦定理等工具进行边角互化，此外还应注意利用常见的内角三角函数关系实现转化，如等，见练习9. 例8、（清华大学）四面体中， （1） 求证：四面体每个面的三角形为锐角三角形. （2） 设三个面与底面所成的角分别为求证： 解：由条件，四个面是全等三角形.由于和共顶点，因此 另一方面因此同理可证: (2) 由（1）可知，在底面内，因此 另一方面，四个面是全等三角形，因此 例9、（清华特色测试）求的值 分析与解：遇到高次的，一般采取降次得策略 ++ （） ① 而 故 ② 将①②代入到（）式中， 注：解答本题除了对三角公式必须熟练掌握之外，还需要一定的恒心和代数功夫，有意思的是：本题还可以进一步推广，。 例10、（北大）已知对恒成立，求. 解：由于 令，其中. (1); (2) 若，则；若，则由，得，即，故. (3) 由柯西不等式，， 故，即.当且仅当时等号成立，此时满足.综上，=2 【自我检测】 1、设锐角使关于x的方程有重根，则的弧度数为___ _________. 解：因方程有重根，故 得 ，于是。 2、设，则的值域是 。 【解】　。令，则 。因此 。 即得。 3、(浙江)已知 , 。若为单元素集，则__