9.3&9.4实系数一元二次方程与复数的三角形式（题型专练）高一数学沪教版必修第二册

品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 9.3&9.4实系数一元二次方程、 复数的三角形式 基础达标题 题型一复数的三角形式 实系数一元二次方程 题型一复数乘、除运算的三角表示 能力提升题 复数的三角形式 题型二三角表示下复数的乘方与开方 题型一实系数一元二次方程 拓展培优题 题型二三角表示下复数的几何意义 基础达标题 题型一 复数的三角形式 1.(25-26高一下.全国课后作业)复数z=3√5+3i化为三角形式为 arg z= 2.(25-26高一下·全国：课后作业)已知复数z=1+cos0-isin0(π<0<2m),则arg2=,2= 3.(25-26高下.全国课堂例题)若非零复数z=r(cos0+isin0),则z= 4.(25-26高一下.全国课堂例题)将复数z=5cos”+isin 6 化为代数形式为 6 5.(25-26高一下·全国课后作业)将复数1+√5i所表示的向量绕原点按逆时针方向旋转O角(0<0<2π)所 得的向量对应的复数为-2，则0= B 能力提升题 题型一 复数乘、除运算的三角表示 1.2526有-下全国灵后作业)卫知复数=片9.=-2co钙+im} 求2·22的辐角的主 22 值。 2.(25-26高一下·全国课堂例题)计算：8os6 3.(25-26高一下·全国课后作业)计算4 +isin 的结果是() 1/4 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 cos5π+isin A.2c B.2si 5元+ic0s 5π 12 12 1 2 c2cos+ism到 D.8 cos4+isin 4 4.(25-26高一下全国课堂例题) cos+isin 4 3 题型二 三角表示下复数的乘方与开方 1.(25-26高三上广东·期末)任意一个复数z=a+bi(a,beR)都可以表示成三角形式，即a+bi=r (cos0+isin0)(0eR,r≥0)法国数学家棣莫弗创立的棣莫弗定理是：设两个复数： =rcos8+i5im8,,=5(c0s0,+in0,小，则，=r5[cos8,+0,)+im0,+8,月，已知复数z=}-5 22 ,则22026=() A.15 B.-1+3 2+2 c D.-1 22 2.(2026重庆.一模)任何一个复数z=a+bia,beR)都可以表示成z=r(cos0+isin0)(r≥0,0∈R)的 形式，通常称为复数的三角形式.法国数学家棣莫弗发现： [rcos0+isin0)]”=r(cosn0+isin0),neZ),我们称这个结论为棣莫弗定理.则(5+i的值为 () A.202(V5+i B.2202(V5-i C.22025(1-V51 D.22026(-1+V3i 3.(2026高一全国·专题练习)设z=1+i,求z4和2 4.(25-26高一下·全国课后作业)计算： 哈9” (2[2(cos50+isin50)】]T. 5.(25-26高一下·安徽阜阳·月考)在复平面内，复数z=a+bi〔a,b∈R)对应的向量为O元(O为坐标原点)， 设OZ=r,以射线Ox为始边，Oz为终边逆时针旋转所得的角为O,则z=r(cos0+isin0),此为复数的三 角形式.法国数学家棣莫弗发现了棣莫弗定理：z1=r(cos0,+isin0,),z2=(cos02+isin02),则 z,z2=[cos(0,+02)+isin(0,+02)】.由棣莫弗定理导出了复数乘方公式： z"=[r(cos0+isin)]"=r"(cos ne +isin n)(nEN'). 2/4 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)将复数z=-1+√5i表示为三角形式， (2)根据复数乘方公式，化简：(-1+√3) 拓展培优题 题型一 实系数一元二次方程 1.(2026湖北黄冈一模)设复数2+i是关于x的方程x2-ax+b=0(a,b∈R)的一个根，则ab=() A.20 B.15 C.10 D.8 2.(2026黑龙江哈尔滨模拟预测)已知复数z是方程x2-2x+3=0的根，则z=（) A.√2 B.3 C.2 D.3 3.(2026河北沧州模拟预测)已知复数z满足z2+z+1=0,则z的值为() A. B.② C.1 D.√2 2 4.(2026重庆万州模拟预测)若实系数一元二次方程的两个复数根分别为z,2,其中z=1+2i,则 2122=（) A.5 B.-5 C.3 D.-3 5.(25-26高一下·全国·课后作业)已知关于x的实系数方程x2+x+p=0的两虚根a,b满足|a-b=3,则p 的值是() A.-2 B.一2 1 D.1 题型二 三角表示下复数的几何意义 1.(2026山东东营一模)在复平面内，把复数3-V5i对应的向量绕原点沿顺时针方向旋转？，则旋转后的 向量对应的复数为() A.-23i B.3+3i C.25i D.-3+V5i 2.(25-26高一下·全国课后作业)如图所示，已知四边形ABCD是矩形，点A和B对应的复数分别为 -1+2i,1+i,并且BA:DA=1:V3,求点C和点D分别对应的复数. 3/4 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D B o 3.(2425高一上上海课堂例题)设、2、三，在复平面上对应的点分别为4、B、C,2=31+V5若 2 2=1,22=22,2;=222,求四边形0ABC的面积 4.(2026安徽铜陵模拟预测)在复平面中，己知A1,0,B(0,1,复数3,22对应的点分别为Z,Z2, 且满足==名-=2，则AZ·8Z的最大值为 5.(25-26高一下·全国月考)已知复数z满足z2+2z+4=0,且argz∈ (1)求z的三角形式： (②)记A、B、C分别表示复数z、⊙、-2o在复平面上的对应点.已知A、B、C三点成逆时针顺序，且 ABC为等边三角形，求O, 4/4 9.3&9.4 实系数一元二次方程、复数的三角形式 题型1 复数的三角形式 1．（25-26高一下·全国·课后作业）复数化为三角形式为_____________，_____________． 【答案】 【分析】根据复数的形式，由实部和虚部的值直接确定复数的三角形式. 【详解】复数对应的点在第一象限，且，. 因为，所以． 故答案为：；. 2．（25-26高一下·全国·课后作业）已知复数，则________，________． 【答案】 【分析】利用二倍角公式和诱导公式将复数化成三角形式，根据角的范围即可求得复数的辐角主值与模. 【详解】 ， 因为，所以， 所以，. 故答案为：；. 3．（25-26高一下·全国·课堂例题）若非零复数，则________. 【答案】 【分析】由题意可得，根据复数的乘法运算即可求得答案. 【详解】由于非零复数，故， 故 . 故答案为： 4．（25-26高一下·全国·课堂例题）将复数化为代数形式为_________． 【答案】 【详解】． 5．（25-26高一下·全国·课后作业）将复数所表示的向量绕原点按逆时针方向旋转角所得的向量对应的复数为，则_____________． 【答案】 【分析】根据复数的三角表示式进行求解即可. 【详解】由题意得，，． 所以将所表示的向量逆时针旋转，所得向量对应的复数为． 根据复数乘法的几何意义，旋转角。该值满足. 故答案为：. 题型1 复数乘、除运算的三角表示 1．（25-26高一下·全国·课后作业）已知复数，，求的辐角的主值． 【答案】 【分析】利用复数的乘法运算化简，再结合辐角主值的定义求出. 【详解】 ， 因为辐角主值属于，所以的辐角的主值为． 2．（25-26高一下·全国·课堂例题）计算：. 【答案】 【分析】根据给定条件，利用复数三角形式的除法运算求解. 【详解】 3．（25-26高一下·全国·课后作业）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据复数乘法的三角表示公式计算即可. 【详解】因为，所以 . 故选：C. 4．（25-26高一下·全国·课堂例题）_________． 【答案】 【详解】 ． 题型2 三角表示下复数的乘方与开方 1．（25-26高三上·广东·期末）任意一个复数（，）都可以表示成三角形式，即（）（，）.法国数学家棣莫弗创立的棣莫弗定理是：设两个复数：，，则，已知复数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由棣莫弗定理可知，若，则，求出，代入公式化简即可. 【详解】由棣莫弗定理可知，若，则， 因为，所以， 所以， 故选：A. 2．（2026·重庆·一模）任何一个复数 都可以表示成 的形式，通常称为复数的三角形式． 法国数学家棣莫弗发现： ，我们称这个结论为棣莫弗定理． 则 的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，将化为三角形式，再根据棣莫弗定理化简求值，即得答案. 【详解】 ， 故选：C 3．（2026高一·全国·专题练习）设，求和. 【答案】；的值有，，， 【分析】将转化为三角形式后，利用幂的几何意义计算即可得. 【详解】由， 故， 则，， 则，， ，. 4．（25-26高一下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将复数转化为三角形式，再结合三角运算即可化简； （2）利用以及复数的三角运算化简即可. 【详解】（1）原式 ． （2）因为， 所以原式 ． 5．（25-26高一下·安徽阜阳·月考）在复平面内，复数对应的向量为(O为坐标原点)，设，以射线为始边，为终边逆时针旋转所得的角为，则，此为复数的三角形式.法国数学家棣莫弗发现了棣莫弗定理: ，，则.由棣莫弗定理导出了复数乘方公式: . (1)将复数表示为三角形式; (2)根据复数乘方公式，化简: 【答案】(1). (2) 【分析】（1）求出的值即可得答案； （2）由题意可得，再利用诱导公式求解即可. 【详解】（1）由题意得，当时， ， 故； （2） ， 故. 题型1 实系数一元二次方程 1．（2026·湖北黄冈·一模）设复数是关于的方程的一个根，则（   ） A．20 B．15 C．10 D．8 【答案】A 【详解】由复数是关于的方程的一个根， 得复数是该方程的另一个根，则， 所以. 2．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知复数z是方程的根,则（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【详解】因为方程的判别式， 所以该方程有虚数根， 所以， 因此. 3．（2026·河北沧州·模拟预测）已知复数满足，则的值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】设复数，代入方程并分离实部、虚部，根据复数为零的条件列方程组求解，再利用复数模长公式计算. 【详解】设，则， 计算可得， 所以，计算可得， 所以. 4．（2026·重庆万州·模拟预测）若实系数一元二次方程的两个复数根分别为，，其中，则（    ） A．5 B． C．3 D． 【答案】A 【详解】依题意，互为共轭复数，由，得， 因此，A正确. 5．（25-26高一下·全国·课后作业）已知关于x的实系数方程的两虚根a，b满足，则p的值是（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】根据复数的性质和判别式求解即可. 【详解】因为关于x的实系数方程的两虚根为a，b， 所以，即. 因为，， 所以，而， 所以，两边平方得，解得. 故选：C. 题型2 三角表示下复数的几何意义 1．（2026·山东东营·一模）在复平面内，把复数对应的向量绕原点沿顺时针方向旋转，则旋转后的向量对应的复数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】法一：根据复数与复平面内向量的关系，结合三角函数关系计算即可得；法二：借助复数的三角形式及其乘法的几何意义计算即可得. 【详解】法一：复数对应的向量为，则， 向量与轴正半轴夹角为， 设该向量绕原点沿顺时针方向旋转后所得向量坐标为， 则，， 即所得向量坐标为，故旋转后的向量对应的复数为； 法二：复数对应的向量绕原点沿顺时针方向旋转后的向量对应的复数为： . 2．（25-26高一下·全国·课后作业）如图所示，已知四边形是矩形，点和对应的复数分别为，，并且，求点和点分别对应的复数． 【答案】点对应的复数为，点对应的复数是． 【分析】结合矩形特征与条件，利用复数的三角形式进行有关的模的变化与辐角变化求得向量对应的复数，再由，即可求得点对应的复数，同理可得点对应的复数. 【详解】由题意可知，向量可以看作向量的长度扩大为原来的倍，并绕点按顺时针方向旋转后得到． 因向量对应的复数为， 故向量对应的复数为． 因为，则点对应的复数为． 同理可得点对应的复数是． 3．（24-25高一上·上海·课堂例题）设、、在复平面上对应的点分别为A、B、C，.若，，，求四边形的面积. 【答案】 【分析】写出复数的三角形式，根据三角形式几何意义得到，且，，且，利用三角形面积公式得到，相加后得到答案. 【详解】，得，由， 得. 因为，所以，即，且. 因为，所以，即，且. 设四边形的面积为， 则 . 4．（2026·安徽铜陵·模拟预测）在复平面中，已知，，复数，对应的点分别为，，且满足，则的最大值为______． 【答案】 【分析】根据复数的几何意义，由，分析得是边长为的等边三角形，写出坐标再利用数量积的运算性质，将所求问题转化为平面向量数量积的最值问题. 【详解】因为复数对应的点为，且， 所以是边长为的等边三角形，为坐标原点，设， 则的坐标为或， 因为，，则， 当时， ， 令，由辅助角公式得， ，故， 因此， 故取得最大值：； 当时， ， 令，由辅助角公式得， ，故， 因此，故取得最大值：； 综上所述，的最大值为. 5．（25-26高一下·全国·月考）已知复数满足，且． (1)求的三角形式； (2)记、、分别表示复数、、在复平面上的对应点．已知、、三点成逆时针顺序，且为等边三角形，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解方程，根据复数的几何意义求出复数，再将复数化为三角形式； （2）分析可知对应复数为：，对应复数为：，则把对应复数按逆时针方向旋转即得对应复数，利用复数的乘法可得出，利用复数的运算可得出复数. 【详解】（1）由，得，所以或， 因为，则复数在复平面上对应的点应位于第二象限，故应舍去， 所以． （2）由题意，对应复数为：，对应复数为：， 因为，、、位置成逆时针顺序，又， 所以把对应复数按逆时针方向旋转即得对应复数． 所以，可得 ， 即， 故. 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $