预测04 圆的综合-【临门一脚】2022年中考数学三轮冲刺过关（全国通用）

预测04 圆的综合 概率预测 ☆☆☆☆☆ 题型预测 解答题☆☆☆☆☆ 考向预测 ①有关圆的证明题 ②有关圆的计算 圆的综合题是全国中考的热点内容，更是全国中考的必考内容！圆作为一个载体，常与三角形、四边形结合，难度系数中等。 1．从考点频率看，圆是高频考点，中考对圆的知识点考查，综合能力要求极高！ 2．从题型角度看，以解答题为主，分值10分左右！ 圆常见辅助线的作法 1：连接半径，构造等腰三角形 在圆的相关题目中，不要忽略隐含的已知条件，我们通常可以连接半径构造等腰三角形，从而利用等腰三角形的性质及圆中的相关定理。 2：遇弦添加弦心距或半径 根据垂径定理，连半径，可以构造直角三角形。设未知数，利用勾股定理列方程，求线段的长度。 3：构造同弧或等弧所对的圆心角或圆周角解题 在同一圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半。 在同一圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等。 4：构造直角或直径 直径所对的圆周角是90°。 5：切线的性质有关的辅助线——添加过切点的半径 利用切线性质，可得半径与切线垂直 6：切线的判定有关的辅助线 （1） 有公共点，连半径，证垂直。（2）无公共点，作垂直，证明与半径相等。 7：与三角形内切圆有关的辅助线 遇到三角形的内切圆时，连接内心与三角形各顶点，利用内心的性质进行有关计算与证明。 中考圆的综合题常见的隐含条件：①同圆所有的半径都相等；②直径所对的圆周角相等；③同弧或等弧所对的圆周角相等。有关圆的解答题综合性特别强，会用到初中阶段所学所有几何知识点，如果所有方法都尝试不行，记得用相似，对应边成比例。 1．（2021·湖北随州市·中考真题）如图，是以为直径的上一点，过点的切线交的延长线于点，过点作交的延长线于点，垂足为点．（1）求证：；（2）若的直径为9，．①求线段的长；②求线段的长． 【答案】（1）见解析；（2）①；② 【分析】（1）连接，由是的切线，可得，可证，可得．由，可得即可； （2）①连接，由的直径为9，，可求．可证，由，． ②由（1）可知，可证∽，由性质可得， 解方程得． 【详解】（1）证明：连接，∵是的切线，∴， 又∵，∴，∴． 又∵在中，，∴，∴，∴； （2）①连接，∵的直径为9，∴， 在中，∵，∴． 又∵，且，∴， 在中，∵，∴． ②由（1）可知，∴∠DOE=∠FBE，∠ODE=∠BFE， ∴∽，∴，即， 解得．经检验符合题意． 【点睛】本题考查圆的切线性质，平行线性质，等腰三角形判定与性质，直径所对圆周角性质，锐角三角函数，三角形相似判定与性质，利用相似的性质构造方程是解题关键． 2．（2021·山东菏泽市·中考真题）如图，在中，是直径，弦，垂足为，为上一点，为弦延长线上一点，连接并延长交直径的延长线于点，连接交于点，若．（1）求证：是的切线；（2）若的半径为8，，求的长． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】（1）连接OE，证明OE⊥EF即可；（2）由证得，运用正弦的概念可得结论． 【详解】解：（1）证明：连接OE，如图， ∵OA=OE∴∠OAE=∠OEA．∵EF=PF，∴∠EPF=∠PEF ∵∠APH=∠EPF，∴∠APH=∠EPF，∴∠AEF=∠APH． ∵CD⊥AB，∴∠AHC=90°．∴∠OAE+∠APH=90°． ∴∠OEA+∠AEF=90°∴∠OEF=90°∴OE⊥EF．∵OE是的半径∴EF是圆的切线， （2）∵CD⊥AB∴是直角三角形 ∵∴ 设，则 由勾股定理得， 由（1）得，是直角三角形 ∴ ∴，即 ∵ ∴解得， 【点睛】此题主要考查了圆的切线的判定，勾股定理和解直角三角形等知识，熟练掌握切线的判定是解答此题的关键． 3.（2021·四川广元市·中考真题）如图，在Rt中，，是的平分线，以为直径的交边于点E，连接，过点D作，交于点F． （1）求证：是的切线；（2）若，，求线段的长． 【答案】（1）证明见详解；（2）． 【分析】（1）先根据圆周角定理、角平分线定义、平行线性质证明∠EAD=∠FDE，再根据AD为直径，得到∠ADE+∠DAE=90°，进而得到AD⊥FD，问题得证； （2）先求出DE=3，证明△AED≌△ACD，得到DE=DC=3，BC=BD+CD=8，解Rt中求出AC=6，进而得到AE=6，求出,证明△ADE∽△AFD，得到，即可求出． 【详解】解：（1）证明：连接DE，∵∴∠CAD=∠CED， ∵ 是的平分线，∴∠CAD=∠EAD，∴∠CED=∠EAD， ∵，∴∠CED=∠FDE，∴∠EAD=∠FDE， ∵AD为直径，∴∠AED=∠ACD=90°，∴∠ADE+∠DAE=90°， ∴∠ADE+∠FDE=90°，即AD⊥FD，又∵为直径，∴是的切线； （2）∵∠AED=90°，∴∠BED=90°，∴, ∵∠AED=∠ACD，∠DAE=∠