1.1 等腰三角形-2021-2022学年八年级数学下册《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（北师大版）

第一章：三角形的证明 1.1 等腰三角形 考点一、等腰三角形的性质 定理：等腰三角形有两边相等；(定义) 定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。 推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 （三线合一） 推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°。 等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形； 考点二、等腰三角形的判定 1. 有关的定理及其推论 定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形（简写成“等角对等边”。） 推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。 推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。 推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 考点三：等边三角形 等边三角形定义：三条边都相等的三角形；（等边三角形是特殊的等腰三角形） 等边三角形的性质： ①等边三角形的三个内角都是60〬 ②等边三角形的每条边都存在三线合一； 4、等边三角形是轴对称图形，对称轴是三线合一所在直线；（有3条对称轴） 5、等边三角形的判定： ①三条边都相等的三角形是等边三角形； ②三个角都相等的三角形是等边三角形； ③有一个角是60〬的等腰三角形是等边三角形； 题型一：等腰三角形的性质 1．如图，在中，，，垂足为，若，则的度数为（       ） A． B． C． D． 2．如图，在△ABC中，∠ABC=60°，BC=20，点D在边AB上，CA=CD，BD=8，则AD=（       ） A．2 B．3 C．4 D．6 3．如图，在中，，，AD平分交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则的周长为（       ） A．12 B．13 C．14 D．18 题型二：等腰三角形的判定 4．点C、D都在线段AB上，且AD＝BC，AE＝BF，∠A＝∠B，CE与DF相交于点G． (1)求证∠E＝∠F； (2)若CE＝10，DG＝4，求 EG的长． 5．已知：如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，且MN∥BC，分别交AB、AC于点M、N．求证：MN＝BM+CN． 6．【问题提出】在中，，为的角平分线，探究线段，，的数量关系． 【问题解决】如图1，当，过点作，垂足为，易得；由此，如图2，当时，猜想线段，，有怎样的数量关系？给出证明． 【方法迁移】如图3，当，为的外角平分线时，探究线段，，又有怎样的数量关系？直接写出结论，不证明． 题型三：等边三角形的性质 7．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，等边三角形ADE的顶点D在BC边上，连接CE，已知∠DCE=90°，CD=，则AB的长为（       ） A． B． C． D． 8．△BDE和△FGH是两个全等的等边三角形，将它们按如图的方式放置在等边三角形ABC内．若BC＝5，则五边形DECHF的周长为（　　） A．8 B．10 C．11 D．12 9．如图，在等边三角形中，边上的高，是高上的一个动点，是边的中点，在点运动的过程中，存在的最小值，则这个最小值是（       ） A．5 B．6 C．7 D．8 题型四：等边三角形的判定 10．已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，且AB=CD，点E在AB上，将△BCE沿CE对折得到△FCE，EF恰好过点A，FC边与AD边交于点G，且DC=DG． (1)求证：△ABC≌△CDA；(2)试判断△FAG的形状，并说明理由． 11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，以AB为一边向上作等边三角形 ABD，点E在BC垂直平分线上，且EB⊥AB，连接 CE，AE，CD． (1)判断△CBE的形状，并说明理由； (2)求证：AE=DC； (3)若CD与AE相交于点F，CD与AB相交于点G，求∠AFD的度数． 12．在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC上，BD＝CE，BE＝CF， （1）求证：∠B＝∠DEF； （2）连接DF，当∠A的度数是多少时，△DEF是等边三角形． 题型五：等腰和等边三角形的综合问题 13．如图，是等边三角形，点，分别在边，上，，线段，交于点．作，交于点． (1)求证：； (2)用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 14．已知在中，，，是的高，分别交，于点E，F． (1)如图1，若，且，求的度数； (2)如图2，若． ①求的度数； ②求证：． 15．在等边△ABC中，D为BA延长线上一点，F为BC上一点，过B作BEAC，连接DE，EF，且∠DEF＝60°． (1)如图1，若BE＝2，BD＝5，求BF的长． (2)如图2，若F为CB延长线上一点，试探究BD、B