专题18 圆锥曲线中的定点定值问题-2022年高考数学重难点专题讲与练（新高考地区专用）

专题18 圆锥曲线中的定点定值问题 1、涉及直线过定点的问题： 若涉及直线过定点的证明，则直线一定为含有参数的动直线，即直线系，对于直线系方程，可将直线方程化为f(x,y)+，令f(x,y)且，求出交点坐标即为定点，例如直线的点斜式方程y-y0=k(x-x0)对于参数k，此直线系过定点。 2、圆锥曲线中定点问题的一般解题方法： ①引进参数法，引进动点的坐标或动线中的系数为参数，再研究变量与参数何时没有关系，找到定点； ②特殊到一般法，根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关． 对于引进参数后，把直线或者曲线方程中的变量x，y当作常数看待，把常量当作未知数，将方程一端化为0，即化为kf(x，y)＋g(x，y)＝0的形式(这里把常量k当作未知数)，由解得点的坐标即为定点． 3、解决圆锥曲线中的定值的基本方法 定值问题在几何问题中，有些问题和参数无关，这就是定值问题，解决这类问题常通过取参数和特殊值来确定“定值”是多少，或者将问题涉及的几何式转化为代数式或三角式，证明该式是恒定的。 （2021秋•蚌埠期末）已知直线l与抛物线y2＝4x交于不同的两点A，B，O为坐标原点，若直线OA，OB的斜率之积为﹣1，则直线l恒过定点（　　） A．（4，0） B．（0，4） C．（0，﹣4） D．（﹣4，0） 【分析】直线l的方程为x＝my+b，联立抛物线的方程，由韦达定理可得y1y2＝﹣4b，再结合k1k2＝﹣1，解得b，进而可得答案． 【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2）， 因为直线OA，OB的斜率k1，k2满足k1k2＝﹣1， 所以•1， 所以1，即y1y2＝﹣16， 设直线l的方程为x＝my+b， 联立抛物线的方程得，y2﹣4my﹣4b＝0， 所以y1y2＝﹣4b， 即﹣4b＝﹣16，解得b＝4， 所以直线l恒过点（4，0）． 故选：A． （2021秋•邯郸期末）已知动点Q到点E（，0）的距离与到直线l1：x的距离之比为，Q点的轨迹为曲线C． （1）求曲线C的方程； （2）已知M（﹣3，0），N（3，0），A，B为曲线C上异于M，N的两点，直线AM，BN相交于点T，点T在直线x＝4上，问直线AB是否过定点？若过定点，请求出定点坐标；若不过定点，请说明理由． 【分析】（1）设Q（x，y），根据已知条件列方程，化简求得曲线C的方程． （2）首先分析直线AB的斜率是否与y轴垂直，当直线AB不垂直与y轴时，设出直线AB的方程为x＝ty+m，并与曲线C的方程联立，化简写出根与系数关系，根据T是直线AM，BN的交点求得m的值，从而确定直线AB过定点． 【解答】解：（1）设Q（x，y），则， 化简得， ∴曲线C的方程为． （2）设A（x1，y1），B（x2，y2）， 则， ∴x1≠±3，x2≠±3，y1≠0，y2≠0， ①当直线AB垂直于轴时，由对称性可知，直线AM，BN交于y轴，不合题意，舍去； ②当直线AB不垂直于y轴时，设直线AB的方程为x＝ty+m， 联立，得（4t2+9）y2+8tmy+4m2﹣36＝0． 依题意，4t2+9≠0，Δ＝144（4t2+9﹣m2）＞0， ∴，∴m≠±3， 又M（﹣3，0），N（3，0）， ∴直线AM的方程为，直线BN的方程为， 依题意，设T（4，yT）． ∵点T为直线AM，BN的交点， ∴， ∴， 即， ， 又∵m≠﹣3，∴， 化简，得， 又满足Δ＞0，直线AB的方程为， ∴直线AB过定点． （2021秋•阆中市校级月考）已知椭圆C：的两个焦点分别为F1，F2，离心率为，且过点（2，）．又M，N，P，Q是椭圆C上的四个不同的点，两条都不和x轴垂直的直线MN和PQ分别过点F1，F2，且这两条直线互相垂直，则为定值（　　） A． B． C． D． 【分析】由已知求出椭圆C的方程为1，设直线MN的方程为y＝k（x+2），则直线PQ的方程为y（x﹣2）．由，得（2k2+1）x2+8k2x+8k2﹣8＝0，由韦达定理求出|MN|．同理可得|PQ|．由此能求出的值． 【解答】解：由已知e，∴，解得a2＝2b2． ∴椭圆C：1，即x2+2y2＝2b2． ∵椭圆C过点（2，），所以22+2（）2＝2b2， 得b2＝4，a2＝8． ∴椭圆C的方程为1． ∴椭圆C的焦点坐标为F1（﹣2，0），F2（2，0）． 根据题意，可设直线MN的方程为y＝k（x+2）， 由于直线MN与直线PQ互相垂直，则直线PQ的方程为y（x﹣2）． 设M（x1，y1），N（x2，y2）．由方程组，消y得（2k2+1）x2+8k2x+8k2﹣8＝0． 则 x1+x2，x1x2． ∴|MN||x1﹣x2|•． 同理可得|PQ|． ∴． 故选：A． （2021秋•南阳期末）已知抛物线的顶点是坐标原点O，焦点在x轴上，且抛物线上的点M（