专题08 锐角三角函数的实际应用-【划重点】备战2022年中考数学一轮复习划重点变式突破

【划重点】备战2022年中考数学一轮复习划重点变式突破 专题08 锐角三角函数的实际应用 【考情分析】 锐角三角函数考查的内容有正切、正弦、余弦，特殊角的三角函数值，同时必考一道三角函数的解答题。题型比较新颖，尤其是解答题，往往会与比较特殊的造型联系起来，比方说起重机、平板支撑架等等，都是考查过的题型。此类题型要注意题目所给的条件，结合之前讲过的例题，加以分析即可。 锐角三角函数分值不大，一般在10分左右，熟记常规的做题技巧，基本上这一块分数很容易得到。 【知识重点】 知识点一 锐角三角形 锐角三角函数：如下图，在Rt△ABC中，∠C为直角，则∠A的锐角三角函数为(∠A可换成∠B) 定义 表达式 取值范围 关系 正弦 (∠A为锐角) 余弦 (∠A为锐角) 正切 (∠A为锐角) 对边 邻边 斜边 A C B 【正弦和余弦注意事项】 1.sinA、cosA是在直角三角形中定义的，∠A是锐角(注意数形结合，构造直角三角形)。 2.sinA、cosA是一个比值（数值，无单位）。 3.sinA、cosA的大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形的边长无关。 0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要) 三角函数 30° 45° 60° 1 锐角三角函数的关系（互余两角的三角函数关系（A为锐角））： sin A=cos（90°-A）,即一个锐角的正弦值等于它余角的余弦值。 cos A=sin（90°-A）,即一个锐角的余弦值等于它余角的余正切值。 正弦、余弦的增减性： 当0°≤≤90°时，sin随的增大而增大，cos随的增大而减小。 正切的增减性：当0°<<90°时，tan随的增大而增大， 知识点二解直角三角形 一般地，直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角．由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形． 直角三角形五元素之间的关系： 1. 勾股定理（） 2.∠A+∠B=90° 3.sin A= = 4.cos A= = 5.tan A= = 【真题汇编】 一、单选题 1．（2021·吉林长春·中考真题）如图是净月潭国家森林公园一段索道的示意图．已知A、B两点间的距离为30米，，则缆车从A点到达B点，上升的高度（BC的长）为（       ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【解析】 【分析】 在Rt△ABC中，已知∠BAC和斜边AB，求∠BAC的对边，选择∠BAC的正弦，列出等式即可表示出来． 【详解】 在Rt△ABC中， , 即， 故选：A． 【点睛】 本题考查解直角三角形，解题关键是根据解三角函数的定义，列出方程． 2．（2021·湖南衡阳·中考真题）如图是某商场营业大厅自动扶梯的示意图．自动扶梯的倾斜角为，大厅两层之间的距离为6米，则自动扶梯的长约为（）（       ）． A．7.5米 B．8米 C．9米 D．10米 【答案】D 【解析】 【分析】 结合题意，根据三角函数的性质计算，即可得到答案． 【详解】 根据题意，得： ∵米 ∴米 故选：D． 【点睛】 本题考查了三角函数的知识；解题的关键是熟练掌握三角函数的性质，从而完成求解． 3．（2021·山东济南·中考真题）无人机低空遥感技术已广泛应用于农作物监测．如图，某农业特色品牌示范基地用无人机对一块试验田进行监测作业时，在距地面高度为的处测得试验田右侧出界处俯角为，无人机垂直下降至处，又测得试验田左侧边界处俯角为，则，之间的距离为（参考数据：，，，，结果保留整数）（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 根据题意易得OA⊥MN，∠N=43°，∠M=35°，OA=135m，AB=40m，然后根据三角函数可进行求解． 【详解】 解：由题意得：OA⊥MN，∠N=43°，∠M=35°，OA=135m，AB=40m， ∴， ∴，， ∴； 故选C． 【点睛】 本题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数是解题的关键． 4．（2021·辽宁丹东·中考真题）如图，在矩形中，连接，将沿对角线折叠得到交于点O，恰好平分，若，则点O到的距离为（       ） A． B．2 C． D．3 【答案】B 【解析】 【分析】 如图，过点O作OF⊥BD于F，可得OF为点O到的距离，根据矩形的性质可得∠A=∠ABC=90°，根据折叠性质可得∠EBD=∠CBD，根据角平分线的定义可得∠ABO=∠EBD，即可得出∠ABO=30°，根据角平分线的性质可得OA=OF，利用∠ABO的正切值求出OA的值即可得答案． 【详解】 如图，过点O作OF⊥BD于F， ∴OF为点O到的距离