【2022成都新中考】综合专练四（17～26题）-2022年成都中考数学AB卷必考重点题型专题

【2022成都新中考】综合专训四（19~28题） 17．如图，是的直径，点、为圆上的两点，当点是弧的中点时，垂直直线，垂足为，直线与的延长线相交于点，弦平分，交于点，连接． (1)求证：与相切； (2)求证：； (3)若，，求线段的长． 【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3) 【分析】 （1）要证明与相切，只要求出即可，根据已知可得，所以只要证明即可解答； （2）要证明，只要证明，结合图形可知∠PFC=∠BAC+∠ACF，∠PCF=∠PCB+∠BCF，根据已知平分，可得，所以只要证明即可解答； （3）根据是的直径，想到直径所对的圆周角是直角，所以连接，根据已知可求出的长，，然后再证明△PCB∽△PAC，从而得到，最后在中，利用勾股定理进行计算即可解答． (1) 解：（1），，∴∠DAC+∠DCA=90°， 点是弧的中点，∴，， ， ， ， ， ∴∠D=∠OCP=90°， 是圆的半径， 与相切， (2) 是的直径， ， ， 由（1）得：， ， ， ， 平分， ， ∵∠PFC=∠BAC+∠ACF，∠PCF=∠PCB+∠BCF， ， ； (3) 连接， 平分， ， ， 是的直径， ， 为等腰直角三角形， ∵AB=， ∴OB=OC= ∵ ∴， ∵∠PCB=∠BAC，∠P=∠P， ∴△PCB∽△PAC， ∴， 设，， 在中，， ∴， ∴或x=0(舍去)， ∴PC=， ∴PF=． 【点睛】 本题考查了切线的判定与性质，圆周角定理，解直角三角形，勾股定理，直线和圆的位置关系，垂径定理等知识，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 18．如图，在平面直角坐标系中，直线y=kx﹣4与反比例函数y=（x＞0）的图象交于点A，与y轴交于点C．点B在x轴上，∠ABO=90°，AB=BO． （1）求k的值； （2）点D(m，0)在x轴正半轴上，连接AD，CD，ACD是以AC为斜边的直角三角形．请用两种不同的方法求m的值． （3）在（2）的条件下，点E在反比例函数的图象上（不与A重合），若，请求出点E的坐标． （4）若P为直线y=kx﹣4上的动点，Q为反比例函数y=（x＞0）的图象上的动点，且以点P、Q、O、C为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点P的坐标． 【答案】（1）k=3；（2）4，方法见解析；（3）(4+2，2﹣4)；（4）(，)或() 【解析】 【分析】 （1）用待定系数法即可求解； （2）方法一利用勾股定理即可求解，方法二利用△ABD∽△DOC即可求解； （3）由于点E在反比例函数的图象上（不与A重合），延长AD到M，使DM=AD，过M作MN⊥x轴于N，ME∥CD，交反比例图像于E，易证△ABD≌△MND，进而求得直线CE的表达式，即可求解点E的坐标． （4）根据题意设P（x1，3x1﹣4），Q（x2，），再根据P、Q的横坐标相等，且|PQ|=4，进而可以求得P的坐标． 【详解】 解：（1）令AB=BO=a， ∵∠ABO=90°， ∴设点A的坐标为（a，a）， ∵y=（x＞0）过点A， ∴a=， ∴a1=2，a2=﹣2（舍）， ∴A（2，2） 代入y=kx﹣4得，2=2k﹣4， ∴k=3； （2）证明：方法一， 由x=0得，y=3x﹣4=﹣4， ∴C（0，﹣4）， 又∵A（2，2），D（m，0）， ∴AC2=22+62=40， AD2=（m﹣2）2+22=m2﹣4m+8， CD2=m2+42=m2+16， ∵△ACD是以AC为斜边的直角三角形， ∴m2﹣4m+8+m2+16=40， 解得，m1=4，m2=﹣2（舍）， ∴m的值是4； 方法二： ∵∠ABO=∠ADC=∠COD=90°， ∴∠BAD+∠BDA=90°，∠ODC+∠BDA=90°， ∴∠BAD=∠ODC， ∴△ABD∽△DOC， ∴， ∵A（2，2），D（m，0），C（0，﹣4）， ∴， 解得，m1=4，m2=﹣2（舍）， ∴m的值是4； （3）延长AD到M，使DM=AD，过M作MN⊥x轴于N，ME∥CD，交反比例图像于E，连接CM， 则S△ECD=S△CDM=S△ACD， ∵AD=DM，∠ADB=∠MDN，∠ABD=∠MND=90°， ∴△ABD≌△MND（AAS）， ∴MN=AB，DN=BD， 由（2）得AB=BD=2， ∴DN=MN=2，ON=6， ∴M（6，-2）， 设直线CD的解析式为：yCD=bx﹣4， 由D（4，0）得， 0=4b﹣4， 解得：b=1， 直线CD的解析式为：yCD=x﹣4， ∴设yME=x+k，将M（6，-2）代入得，k=﹣8， ∴直线CE的表达式为y=x﹣8， 解方程，得或(舍去)， 经检验，是原方程的根且符合题意， 故点E的坐标为(4+2，2﹣4)； （4）∵点P、Q、O、C为顶点的四边形是平行四边形，而OC在y轴上