专题07 与球相关问题-备战2022年高考数学二轮重难点微专题

2022届高三数学二轮微专题9 与球相关问题 【基础诊断】 1.（2009·全国·高考真题（文））已知为球的半径，过的中点且垂直于的平面截球面得到圆，若圆的面积为，则球的表面积等于_________________． 【答案】16π 【解析】 【详解】 本小题考查球的截面圆性质、球的表面积，基础题． 设球半径为，圆M的半径为，则，即由题得，所以． 2.（2020·山东省滨州市三模）已知P，A，B，C是球O的球面上的四个点，平面，则球O的表面积为__________． 【答案】 【解析】由于平面，所以，而，故可将补形为长方体，如图所示，长方体的外接球，也即三棱锥的外接球，也即球. 由于，设，则，所以长方体的对角线长为. 设球的半径为，则， 所以球的表面积为. 3. 正方体的棱长为1，，分别为，的中点．则平面截正方体所得的截面面积为______；以点为球心，以为半径的球面与对角面的交线长为______． 【答案】 (1). (2). 【解析】 【分析】 由题意作出图形，可得平面截正方体所得截面为等腰梯形，求出此梯形面积即可，再找出以点为球心，以为半径的球面与对角面的交线利用弧长公式求解交线长． 【详解】如图，连接，则，∴等腰梯形为平面截正方体所得截面图形， 由正方体棱长为1，得，，，则到的距离为， ∴． ∵平面平面，且平面平面， 过作于，则平面， ∵为中点，∴， 以点为球心，以为半径的球面与对角面的交线为圆弧， 其半径为， 由，，得，∴， 所求交线为劣弧，长度为． 故答案为：；． 【点睛】本题考查球与内接多面体，考查空间想象能力，逻辑推理能力，运算求解能力，属于中档题． 【范例导航】 【考向一】与球的截面相关问题 1.（2022·河南·南阳中学高三阶段练习（理））已知为球的半径，为线段上的点，且，过且垂直于的平面截球面得到圆，若圆的面积为，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 如图所示，由题得,设球的半径为，解方程即得解. 【详解】 解：如图所示，由题得. 设球的半径为，则, 所以. 故选：B 2.（2021·全国·高一课时练习）一平面截一球得到直径为的圆面，球心到这个平面的距离是，则该球的体积是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 作出过球心的截面，利用勾股定理可求得球的半径，由球的体积公式可求得结果. 【详解】 设球心为，截面圆心为，连接，则垂直于截面圆，如图所示， 在中，，， 球的半径，球的体积． 故选：B. 3.（2022·四川省泸县第一中学二模（理））已知四面体中，，，，则以点为球心，以为半径的球被平面截得的图形面积为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 由题意，取中点，连接，，可得为等边三角形，取中点，求得，再说明到（或的距离大于，得到以为球心， 为半径的球面与侧面的交线为圆，利用勾股定理求出圆的半径，即可求解. 【详解】 解：如图， 取中点，连接，，，， ，，又， 所以平面， 又，， ，为等边三角形， 取中点，则，可得， 又因为平面，所以， 因为，所以平面， 又设到（或的距离为， 由， 可得， 以为球心，为半径的球面与侧面的交线为圆，圆的半径为， 所以以点为球心，以为半径的球被平面截得的图形面积为， 故选：B. 【真题演练】 1.[2020·新课标卷Ⅰ(理)-T10]已知，，为球的球面上的三个点，为的外接圆．若的面积为，，则球的表面积为　　 A． B． C． D． 【分析】画出图形，利用已知条件求出，然后求解球的半径，即可求解球的表面积． 【解答】解：由题意可知图形如图：的面积为，可得，则 ，， ， 外接球的半径为：， 球的表面积：． 故选：． 【点评】本题考查球的内接体问题，球的表面积的求法，求解球的半径是解题的关键． 2.[2020·新课标卷Ⅱ(理)-T10]已知是面积为的等边三角形，且其顶点都在球的球面上．若球的表面积为，则到平面的距离为　　 A． B． C．1 D． 【分析】画出图形，利用已知条件求三角形的外接圆的半径，然后求解即可． 【解答】解：由题意可知图形如图：是面积为的等边三角形，可得， ，可得：，球的表面积为， 外接球的半径为：；所以，解得， 所以到平面的距离为：． 故选：． 【点评】本题考查球的内接体问题，求解球的半径，以及三角形的外接圆的半径是解题的关键． 3.[2013·新课标Ⅰ卷(理)-T6]如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高，将一个球放在容器口，再向容器注水，当球面恰好接触水面时测得水深为，如不计容器的厚度，则球的体积为　　 A． B． C． D． 【分析】设正方体上底面所在平面截球得小圆，可得圆心为正方体上底面正方