（原创）北师大版（2019）数学-选择性必修第二册-第二章 导数及其应用-§7.1实际问题中导数的意义

§7.1实际问题中导数的意义 一条连续不断 极值 最大的一个 最小的一个 导数来源于生活，服务于生活；实际生活中，有许多词语与导数有关，如物理上的功与功率，线速度，加速度，还有生活中常听说的降雨强度、边际成本等.这节课，我们就来研究一下实际问题中导数的含义. 1.能建立实际问题的函数模型，进一步理解导数的概念，能分析实际问题中导数的意义 2.通过利用导数分析生活中的实际问题，进一步培养数学建模的意识和能力，并体会其中的算法思想情感、态度与价值观； 课标要求 1.能理解并能解释实际问题中导数的意义.(数学抽象) 2.掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题.(数学建模、数学运算) 素养要求 探究点1 功与功率中导数的意义 一、实际问题中导数的意义 1.功率: 在物理学中,通常称力在单位时间内做的功为功率,它的单位是瓦特. 例1 如图2-22,某人拉动一个物体前进,他所做的功W(单位:J)是时间t(单位:s)的函数，设这个函数可以表示为 W=W(t)=t3-6t2 +16t. (1)求t从1s变到3s时，功W关于时间t的平均变化率，并解释它的实际意义； (2)求W(1),W'(2),并解释它们的实际意义. 解 (1)当t从1s变到3s时，功W从W(l) = ll J变到W(3) = 21 J,此时功W关于时间t的平均变化率为 =5 (J/s) 它表示从1 s到3 s这段时间内,这个人平均每秒做功5 J. (2)首先求W'(t).根据导数公式表和导数的运算法则，可得 W'(t) = 3t2-12t+16. 于是 W'(l)=7 J/s,W'(2)=4 J/s. W'⑴和W'(2)分别表示t=1 S和t=2 S时，这个人每秒做的功为7 J和4 J. 探究点2 降雨强度中导数的意义 2.降雨强度: 在气象学中,通常把单位时间内的降雨量称作降雨强度.它是反映一 次降雨大小的一个重要指标. 例2 表2-11为一次降雨过程中一段时间内记录的降雨量数据. 显然,降雨量y(单位:mm)是时间t(单位:min)的函数，用y=f(t)表示. (1)分别计算当t从0 min变到10 min,从50 min变到60 min时，降雨量y关于时间t的平均变化率，比较它们的大小，并解释它们的实际意义; (2)