（原创）北师大版（2019）数学-选择性必修第二册-第二章 导数及其应用-§6.2 函数的极值

§6.2 函数的极值 1．了解极大值、极小值的概念．(难点) 2．了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件．(重点) 3．会用导数求函数的极大值、极小值．(重点) 课标要求 1．通过极值概念的学习，培养数学抽象等核心素养． 2．借助函数极值的求法，提升逻辑推理、数学运算等核心素养. 素养要求 探究点1 函数的极值点、极值 【极大值点与极小值点】 如图⑴，在包含xo的一个区间(a,b)内，函数y=f(x)在任何不为xo的一点处的函数值都小于点xo处的函数值，称点xo为函数y=f(x)的极大值点，其函数值f(xo)为函数的极大值. 如图(2),在包含xo的一个区间(a,b)内，函数y=f(x)在任何不为xo的一点处的函数值都大于点xo处的函数值，称点xo为函数y = f(x)的极小值点，其函数值f(xo)为函数的极小值. 函数的极大值点与极小值点统称为极值点，极大值与极小值统称为极值. 注意： 函数极值是在某一点附近的小区间内定义的，是局部性质.因此一个函数在其整个定义区间上可能有多个极大值或极小值，并对同一个函数来说，在某一点的极大值也可能小于另一点的极小值. 极值是函数的一种局部性质，如图2-16中,x1,x3,x5都是函数y=f(x)的极大值点,x2，x4都是函数y=f(x)的极小值点.从图中可以看出，函数的某些极大值有时候比其他极大值小，如f(x1)＜f(x3),甚至可能比一些极小值还小，如f(x1)＜f(x4). 【极大值与极小值】 若函数y=f(x)在区间(a,xo)内单调递增,在区间(xo,b)内单调递减，则xo是极大值点,f(xo)是极大值. 若函数y=f(x)在区间(a,xo)内单调递减,在区间(xo,b)内单调递增，则xo是极小值点,f(xo)是极小值. 探究点2 求函数的极值点的步骤 利用前面得出的导数与函数单调性的关系，观察发现:图2-17的极大值问题可以通过表2-6表示岀来； 图2-18的极小值问题可以通过表27表示出来. 例2 求函数f(x)= 2x3-3x2-36x+16的极值点. 解 f'(x)= =6x2-6x-36 = 6(x+2)(x-3). 通过解方程f'(x)=0得到了两个实数根个x1=-2和x2=3. 当x<-2时，f'(x)＞