（原创）北师大版（2019）数学-选择性必修第二册-第二章 导数及其应用-§6.1 函数的单调性

§6.1 函数的单调性 一、情境设置: 过山车是一项富有刺激性的娱乐工具。时而上升，时而下降；那种风驰电掣、有惊无险的快感令不少人着迷。 二、函数单调性定义 一般地，设函数 y = f (x) 的定义域为I ：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值 ，当 时，都有 ，那么就说函数 f (x) 在区间D上是增函数. 如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值 ，当 时，都有 ，那么就说函数 f (x) 在区间D上是减函数. 1．理解导数与函数的单调性的关系． 2．掌握利用导数判断函数单调性的方法．(重点) 3．会用导数求函数的单调区间．(重点、难点) 课标要求 1．通过函数的单调性与其导数正负关系的学习，培养学生的逻辑推理、直观想象核心素养． 2．借助利用导数研究函数的单调性问题，提升学生的数学运算及逻辑推理核心素养. 素养要求 探究点1 导数与函数的单调性之间的关系 问题 我们知道，对于函数y=f（x)来说， 导数f'(x)刻画的是函数y=f(x)在点x的瞬时变化率， 函数的单调性描述的是函数值y随自变量x取值的增加而增加，或函数值y随自变量x取值的增加而减少. 两者都在刻画函数的变化，那么，导数与函数的单调性之间有何关系呢？ 实例分析 1.计算下面几个一次函数的导数，并讨论这些一次函数的单调性. (1)y=f(x)=x,f'(x)=1； (2)y=f(x)=2x+5,f'(x)=2； (3)y=f(x)=-3x+4,f'(x)=-3. 函数的图象如图2-11. 函数⑴(2)的导数都是正的，在定义域(-∞,+∞) 内函数值都是随x的增加而增加的；函数⑶的导 数是负的，在定义域(-∞,+∞)内函数值是随x 的增加而减少的. 2 .计算下面指数函数、对数函数的导数,并讨论这些函数的单调性。 原函数 导数 (1)y=f(x)=2x, f'(x)=2xln2>0； (2)y=f(x)=, f'(x)=ln<0； (3)y=f(x)=log3x, f'(x)=>0； (4)y=f(x)=, f'(x)