（原创）北师大版（2019）数学-选择性必修第二册-第二章 导数及其应用-§5 简单复合函数的求导法则

§5 简单复合函数的求导法则 1．了解复合函数的概念．(难点) 2．掌握复合函数的求导法则．(重点) 3．能利用复合函数的求导法则求简单复合函数的导数．(重点、难点) 课标要求 1．通过复合函数概念的学习，培养数学抽象等核心素养． 2．通过利用复合函数的求导法求复合函数的导数，提升数学运算、逻辑推理等核心素养. 素养要求 探究点1 复合函数 问题 海上一艘油轮发生了泄漏事故.泄出的原油在海面上形成一个圆形油膜，油膜的面积S（单位:m2）与油膜的半径r（单位:m）的函数关系为 ，S=f(r)=πr2. 油膜的半径r随着时间t(单位:s）的增加而扩大，假设r关于t的函数解析式为r=φ(t)=2t+1. 油膜的面积S关于时间t的瞬时变化率是多少？ 分析 由题意知，时间t决定油膜的半径r，进而决定油膜的面积S所以可得S关于t的函数解析式为S=f(φ(t))=π(2t+1)2. 油膜的面积S关于时间t的瞬时变化率就是函数S=f(φ(t))的导数. 因为f(φ(t))=π（2t+1）2 =π（4t2+4t+1）,根据导数公式表和导数的四则运算法则，可得[f(φ(t))]＇=π(8t+4)=4π(2t+1). 所以油膜的面积S关于时间t的瞬时变化率为4π(2t+1). 复合函数 一般地，对于两个函数y=f（μ）和μ=φ（x）=ax+b,如果给定x的一个值，就得到了μ的值，进而确定了y的值，那么y可以表示成x的函数，称这个函数为函数y=f（μ）和μ=φ（x）的复合函数，记作y=f(φ(x)）,其中μ为中间变量. 【即时练习】 导数的四则运算法则，可得[f(φ(t))]'=π(8t+4)=4π(2t+1). 所以油膜的面积S关于时间t的瞬时变化率为4π(2t+1). 另外，f'(r)=2πr, φ'(t)=2. 我们可以观察到 4π(2t+1)=2πr·2, 即 [f(φ(t))]'=f'(r)·φ'(t) 探究点2 复合函数的导数 复合函数的导数 复合函数y=f(φ(x)）对x的导数为 ,其中μ= 表示y对x的导数 例1 求函数y=的导数. 解 引入中间变量μ=φ（x）=3x+1,则函数y=是由函数f(μ）==与μ=φ（x）=3x+1复合而成的. 由复合函数的求导法则，可得 =(3x+1)