第2章 再练1课(范围：§1～§7) （课件）-【步步高】2023-2024学年高二数学选择性必修 第二册 （北师大版2019）

再练一课 (范围：§1～§7) 第二章　导数及其应用 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 一、单项选择题 1.已知函数f(x)在x＝x0处的导数为12，则 等于 A.－4 B.4 C.－36 D.36 √ 根据题意知，函数f(x)在x＝x0处的导数为12， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2.下列导数运算正确的是 (2x)′＝2xln 2，故B错误； (cos x)′＝－sin x，故C错误； (xln x)′＝ln x＋1，故D正确. C.(cos x)′＝sin x D.(xln x)′＝ln x＋1 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 由已知得点M(1，f(1))在切线上， √ 所以f(1)＋f′(1)＝3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4.若a>0，b>0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值等于 A.2 B.3 C.6 D.9 √ f′(x)＝12x2－2ax－2b， ∵f(x)在x＝1处有极值， ∴f′(1)＝12－2a－2b＝0， ∴ab≤9. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5.对二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a为非零整数)，四位同学分别给出下列结论，其中有且仅有一个结论是错误的，则错误的结论是 A.－1是f(x)的零点 B.1是f(x)的极值点 C.3是f(x)的极值 D.点(2,8)在曲线y＝f(x)上 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 由A知a－b＋c＝0； 由B知f′(x)＝2ax＋b,2a＋b＝0； 由C知f′(x)＝2ax＋b， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6.若函数f(x)＝x3－3x2＋a有且仅有一个零点，则实数a的取值范围为 A.(－∞，0)∪(4，＋∞) B.(－∞，－8)∪(0，＋∞) C.[0,4] D.(－8,0) √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 由题意知f′(x)＝3x2－6x， ∴当f′(x)>0时，3x2－6x>0，得x<0或x>2； 当f′(x)<0时，3x2－6x<0，得0<x<2. ∴f(x)在(－∞，0)上单调递增，在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增， 当x＝0时，有极大值f(0)＝a，当x＝2时，有极小值f(2)＝a－4， ∴只有当f(0)＝a<0或f(2)＝a－4>0时，函数f(x)有且仅有一个零点， ∴a<0或a>4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 根据导函数图象可知，在区间 上，f′(x)<0，f(x)单调递减，在区间(0,4)上，f′(x)>0，f(x)单调递增，所以f(x)在x＝0处取得极小值，没有极大值，所以A，B，D选项正确，C选项错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 在(2，＋∞)上单调递增，故f(x)≥f(2)＝ln 2＋1， 所以f(x)min＝ln 2＋1，无最大值，故A错误； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ∵a>e， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解得a＝2，故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 三、填空题 9.已知曲线y＝x2－3ln x的一条切线的斜率为－1，则该切线的方程为___________. 设切点为(x0，y0)， x＋y－2＝0 解得x0＝1(负值舍去)， ∴y0＝1，故切线方程为y－1＝－1×(x－1)，即x＋y－2＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10.若函数f(x)＝ax3＋3x2－x恰好有三个单调区间，则实数a的取值范围是_________________. (－3,0)∪(0，＋∞) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 因为f(x)＝ax3＋3x2－x， 所以f′(x)＝3ax2＋6x－1， 若函数f(x)＝ax3＋3x2－x恰好有三个单调区间， 则f′(x)有两个不同的零点， 即3ax2＋6x－1＝0有两个不同的根， 解得a>－3且a≠0. 11.当x∈[－1,2]时，x3－x2－x＜m恒成立，则实数m的取值范围是___________. (2，＋∞) 令f(x)＝x3－x2－x， 则f′(x)＝3x2－2x－1. f(1)＝－1， 所以当x∈[－1,2]时，f(x)max＝2， 所以m＞2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 12.已知定义在(0，＋∞)上的函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f′(x)·x< f(x)，f(3)＝0，则 >0的解集为_____. (0,3) 因为f′(x)·x<f(x)， 所以g(x)在(0，＋∞)上单调递减， 又f(3)＝0，所以g(3)＝0， 所以0<x<3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 f(x)的定义域为(0，＋∞). 令f′(x)＝0，得x＝1(x＝－2舍去)， 当0<x<1时，f′(x)<0； 当x>1时，f′(x)>0， 所以f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0,1). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)若f(x)在[1，＋∞)内单调递增，求实数a的取值范围. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 由于f(x)在[1，＋∞)内单调递增， 令g(x)＝x2＋ax－2a， g(x)min＝g(1)＝1－a， 因此1－a≥0，所以－2≤a≤1； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 综上可得，实数a的取值范围是[－8,1]. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14.某公司为获得更大的收益，每年要投入一定的资金用于广告促销.经调查，每年投入广告费t(百万元)，可增加销售额约为－t2＋5t(百万元)(0≤t≤3). (1)若该公司将当年的广告费控制在3百万元之内，则应投入多少广告费，才能使该公司获得的收益最大？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 设投入t(百万元)的广告费后增加的收益为f(t)(百万元)， 则有f(t)＝(－t2＋5t)－t＝－t2＋4t ＝－(t－2)2＋4(0≤t≤3)， 所以当t＝2时，f(t)取得最大值4， 即投入2百万元的广告费时，该公司获得的收益最大. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)现该公司准备共投入3百万元，分别用于广告促销和技术改造.经预测，每投入技术改造费x(百万元)，可增加的销售额为 ＋x2＋3x(百万元).请设计一个资金分配方案，使该公司由此获得的收益最大. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 设用于技术改造的资金为x(百万元)， 则用于广告促销的资金为(3－x)(百万元). 由此获得的收益是g(x)(百万元)， 所以g′(x)＝－x2＋4. 令g′(x)＝0，解得x＝2(负值舍去). 又当0≤x<2时，g′(x)>0； 当2<x≤3时，g′(x)<0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 故g(x)在[0,2)上单调递增，在(2,3]上单调递减， 所以当x＝2时，g(x)取得极大值，也是最大值，即将2百万元用于技术改造，1百万元用于广告促销，可使该公司获得的收益最大. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 因此曲线y＝f(x)在点(0，－1)处的切线方程是2x－y－1＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)证明：当a≥1时，f(x)＋e≥0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 当a≥1时， f(x)＋e≥(x2＋x－1＋ex＋1)e－x. 令g(x)＝x2＋x－1＋ex＋1， 则g′(x)＝2x＋1＋ex＋1. 当x<－1时，g′(x)<0，g(x)单调递减； 当x>－1时，g′(x)>0，g(x)单调递增， 所以g(x)≥g(－1)＝0.因此f(x)＋e≥0. 则 ＝－ ＝－＝－4. 根据导数的运算公式可得′＝1－，故A错误； A.′＝1＋ B.(2x)′＝x2x－1 切点处的导数为切线斜率，所以f′(1)＝， 3.已知函数y＝f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程是y＝x＋2，则f(1)＋f′(1)的值等于 A.1 B. C.3 D.0 所以f(1)＝＋2＝， ∴2≤6， ∴a＋b＝6.又a>0，b>0，∴a＋b≥2， 令f′(x)＝0，可得x＝－， 则f ＝3，则＝3； 由D知4a＋2b＋c＝8，假设A选项错误，则 解得满足题意，故A结论错误，同理易知当B或C或D选项错误时不符合题意，故选A. 二、多项选择题 7.定义在区间上的函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则下列结论正确的是 A.函数f(x)在区间(0,4)上单调递增 B.函数f(x)在区间上单调递减 C.函数f(x)在x＝1处取得极大值 D.函数f(x)在x＝0处取得极小值 8.关于函数f(x)＝aln x＋(a≠0)，下列判断正确的是 A.当a＝1时，f(x)max＝ln 2＋1 B.当a＝－1时，不等式f(2x－1)－f(x)>0的解集为 C.当a>e时，函数f(x)有两个零点 D.当f(x)的最小值为2时，a＝2 对于A，当a＝1时，f(x)＝ln x＋(x>0)，f′(x)＝，令f′(x)>0，解得x>2，令f′(x)<0，解得0<x<2，故f(x)在(0,2)上单调递减， 对于B，当a＝－1时，f(x)＝－ln x＋(x>0)， f′(x)＝<0，f(x)在(0，＋∞)上单调递减，不等式f(2x－1)－f(x)>0，即f(2x－1)>f(x)， 故 解得<x<1，故B正确； 对于C，f′(x)＝－＝， 令ax－2>0，解得x>， 令ax－2<0，解得0<x<， 故f(x)在上单调递减，在上单调递增，故f(x)min＝f ＝aln ＋＝aln ＋a＝aln ， ∵0<<2，故当1<<2即e<a<2e时，ln >0，f(x)min>0，函数无零点，故C错误； 对于D，结合C，当a<0时，f′(x)<0，所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，故函数无最小值，当a>0时，f(x)min＝aln ＝2， ∵y′＝2x－(x>0)， ∴2x0－＝－1， 所以 令f′(x)＝0，得x＝－或x＝1. 又因为f ＝，f(2)＝2，f(－1)＝－1， 即>0的解集为(0,3). 设g(x)＝， 所以g′(x)＝<0， 则>0，即g(x)>0＝g(3)， 四、解答题 13.已知函数f(x)＝ln x－＋(a∈R). (1)若a＝1，求函数f(x)的单调区间； f′(x)＝＋－＝. 若a＝1，则f′(x)＝＝， 所以f′(x)＝≥0在[1，＋∞)上恒成立，即x2＋ax－2a≥0在[1，＋∞)上恒成立. 当－≤1，即a≥－2时，g(x)在[1，＋∞)上单调递增， 当－>1，即a<－2时， g(x)min＝g＝－－2a， 因此－－2a≥0，所以－8≤a<－2. －x3 则g(x)＝－x3＋x2＋3x＋[－(3－x)2＋5(3－x)]－3＝－x3＋4x＋3(0≤x≤3)， f′(x)＝，f′(0)＝2. 15.已知函数f(x)＝. (1)求曲线y＝f(x)在点(0，－1)处的切线方程； $$