2022届北京市朝阳区高三一模数学试卷

北京市朝阳区2022届高三一模数学试卷 数 学 2020.3 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． （1）已知集合，集合，则（ ） （A） （B） （C） （D） （2）直线被圆截得的弦长为（ ） （A）1 （B） （C）2 （D） （3）已知平面向量，满足，，且与的夹角为，则（ ） （A） （B） （C） （D）3 （4）设，若，，，则（ ） （A） （B） （C） （D） （5）已知函数若，则实数的值为（ ） （A） （B） （C）1 （D）2 （6）已知，则“”是“”的（ ） （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 （7）已知三棱锥，现有质点从点出发沿棱移动，规定质点从一个顶点沿棱移动到另一个顶点为1次移动，则该质点经过3次移动后返回到点的不同路径的种数为（ ） （A）3 （B）6 （C）9 （D）12 （8）已知数列，若存在一个正整数使得对任意，都有，则称为数列的周期．若四个数列分别满足：（ ） ①，； ②，； ③，，； ④，． 则上述数列中，8为其周期的个数是 （A）1 （B）2 （C）3 （D）4 （9）如图1，北京2022年冬奥会比赛场地之一首钢滑雪大跳台与电力厂的冷却塔交相辉映，实现了它与老工业遗址的有效融合．如图2，冷却塔的外形是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面．它的最小半径为，上口半径为，下口半径为，高为．在冷却塔的轴截面所在平面建立如图3所示的平面直角坐标系，设，，，，则双曲线的方程近似为（ ） （参考数据：，，） （A） （B） （C） （D） （10）在通用技术教室里有一个三棱锥木块如图所示，，，两两垂直，（单位：），小明同学计划通过侧面内任意一点将木块锯开，使截面平行于直线和，则该截面面积（单位：）的最大值是（ ） （A） （B） （C） （D） 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡上． （11）计算复数________． （12）已知数列是首项为3，公比为的等比数列，是其前项的和，若，则________；________． （13）已知直线和是曲线的相邻的两条对称轴，则满足条件的一个的值是________． （14）某地进行老旧小区改造，有半径为60米，圆心角为的一块扇形空置地（如图），现欲从中规划出一块三角形绿地，其中在上，，垂足为，，垂足为，设，则________（用表示）；当在上运动时，这块三角形绿地的最大面积是________． （15）在平面直线坐标系中，设抛物线：的焦点为，直线：与抛物线交于点，且点在轴上方，过点作抛物线的切线与抛物线的准线交于点，与轴交于点．给出下列四个结论： ①的面积是； ②点的坐标是； ③在轴上存在点使； ④以为直径的圆与轴的负半轴交于点，则． 其中所有正确结论的序号是________． 三、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． （16）（本小题13分） 在中，． （Ⅰ）求； （Ⅱ）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使存在且唯一确定，求的面积． 条件①：； 条件②：； 条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别作答，按第一个解答计分． （17）（本小题13分） 某学校在寒假期间安排了“垃圾分类知识普及实践活动”．为了解学生的学习成果，该校从全校学生中随机抽取了50名学生作为样本进行测试，记录他们的成绩，测试卷满分100分，将数据分成6组：，，，，，，并整理得到如下频率分布直方图： （Ⅰ）若全校学生参加同样的测试，试估计全校学生的平均成绩（每组成绩用中间值代替）； （Ⅱ）在样本中，从其成绩在80分及以上的学生中随机抽取3人，用表示其成绩在中的人数，求的分布列及数学期望； （Ⅲ）在（Ⅱ）抽取的3人中，用表示其成绩在的人数，试判断方差与的大小．（直接写结果） （18）（本小题14分） 如图1，在四边形中，，，，，，分别是，上的点，，，，．将沿折起到的位置，得到五棱锥，如图2． （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）若平面平面， （ⅰ）求二面角的余弦值； （ⅱ）对线段上任意一点，求证：直线与平面相交． （19）（本小题15分） 已知，． （Ⅰ）若曲线在点处的切线与轴重合，求的值； （Ⅱ）若函数在区间上存在极值，求的取值范围； （Ⅲ）设，在（Ⅱ）的条件下，试判断函数在区间上的单调性，并说明理由． （20）（本小题15分） 已知椭圆：的一个焦点为，且过点． （Ⅰ）求椭圆的方程和离心率； （Ⅱ）过点且与轴不重合的直线与椭圆交于，两点