高中数学强基计划最新真题分类专题9：数论选讲

2020年-2021年高中数学强基计划最新真题分类9：杂题选讲专题 一、数论 1. 在（2019×2020）2021 的全体正因数中选出若干个，使得其中任意两个的乘积都不是平方数，则最多可选因数个数为（ ） A．16 B．31 C．32 D．前三个答案都不对 【导引】根据题意，有 2019×2020＝3×671×22×5×101，则（2019×2020）2021 的全体正因数均由 2、3、5、101、671 这 5 个数中任意 1 个或几个相乘组成，据此导引可得答案． 【解答】根据题意，2019×2020＝3×671×22×5×101，则（2019×2020）2021 的全体正因数均由 1、2、3、5、101、671 这 6 个数中任意 1 个或几个相乘组成， 在（2019×2020）2021 的全体正因数中选出若干个，使得其中任意两个的乘积都不是平方数，需要在 2、3、5、101、671 中任选 1、2、3、4、5 个相乘组成， 考虑因数 1，也符合题意，在可选因数的范围内， 最多可以选 1+C51+C52+C53+C54+C 5＝25＝32 个因数， 故选：C．5 （2020 年北京大学） 2. 设 p，q 均为不超过 100 的正整数，则含有有理根的多项式 f（x）＝x5+px+q 的个数为（ ） A．99 B．133 C．150 D．前三个答案都不对 【导引】由题意首先确定方程的根为负数，然后分类讨论其根所满足的条件从而确定多项式的个数即可． 【解答】：因为 f（x）＝x5+px+q 有有理根，则有理根必小于零． 设,且（m，n）＝1,则. 则 qn5＝m5+pmn4，显然 n|m，因为（m，n）＝1，则 n＝1， 故 q=m5+mp.因为 q＝m5+mp≤100，故 1≤m≤2， 当 m＝1 时，q＝1+p≤100，因此 1≤q≤99，共 99 组， 当 m＝2 时，q＝32+2p≤100，故 1≤p≤34，共 34 组， 综上所述：满足条件的（p，q） 共 133 组， 故选：B． （2020 年北京大学） 3. 设，，是正整数，是素数，且整除，证明：整除． 解：（反证法）假设p不整除abc,则p不整除a,p不整除b且p不整除c,由二次剩余类的欧拉准则：若x不整除p，则 得到在模p意义下有 ∈{-3，-1,1,3}. 而p>3，显然有不整除，与假设矛盾，故整除． （2021年中国科技大学（广东）） 4. 设是次实系数多项式，其中，．证明：若的个根都是实数，则的个根也都是实数． 解：我们首先证明两个引理。 引理1：若F（x）=e-x有两个根a与b，其中为实系数多项式且a＜b，则存在c∈（a,b）使得c是其导函数F'（x）的根. 证明：若F'（x）在区间（a,b）有正有负，则由零点存在定理知结论成立；若不然，F（x）在区间（a，b）恒正或恒负，则在区间（a,b）上单调，这与F（a）=F（b）=0矛盾. 引理2：设a是实系数多项式的k重根，k≥2，则a也是导函数f'(x)的k-1重根. 证明:不妨设=（x-a）kg(x），其中g(x）为不以a为根的多项式，则f'(x)=k（x-a）k-1g(x）+（x-a）kg'(x）=（x-a）k-1[kg(x）+（x-a）g'(x）]=（x-a）k-1h(x). 由于h（a）=kg（a）≠0，所以a是f'(x)的k-1重根，则 下面开始我们的证明. 由题不妨令a1,a2,...，as为互不相等的单根，b1,b2,...，bt为f（x）互不相等的重根（重数分别为β1，β2，...，βt），则 =A（x-a1）（x-a2）···（x-as）（x-b1）β1（x-b2）β2···（x-bt）βt, 其中 令F（x）=e-x，则F'（x）=e-x[f(x)-f'(x)]=-e-xg（x）, 则f（x）=0等价于F（x）=0，g（x）=0等价于F'（x）=0. 从而由引理1知g（x）在任意f（x）的两个相邻根之间存在一个实根，共有s+t-1个，记为ci,1≤i≤s+t-1;另一方面，由引理2知： ，b1,b2,...，bt也是f'（x）的根，且重数分别为β1-1，β2-1，...，βt-1. 于是有 注意到deg g（x）=n且 从而deg g1（x）=1，故g1（x）存在实根，记为,故 这是足以说明g（x）的n个根也是实根. （2021年中国科技大学（广东）） 5. 已知的整数部分，证明：． 解析：由二项式定理可知为整数， 且, 则有, 所以 , 故可知|() （2021年中国科技大学） 6. ，，为实系数多项式，且两两互素， ，证明：或2． 解析：对任意的多项式F，我们用no（F）表示F的互不相同的根的个数，即如果有重根的话，则不考虑其重数，都只记一次. Mason-Stothe