第十三章 平面几何（试卷）-高考数学强基计划专题精讲与能力强化

第十三章 乎面几何 一、选择题 C.(2,3) D.(3,4) 1.在内切圆半径为1的直角三角形ABC中， 7.非等边三角形ABC中，BC=AC,O,P分别 ∠C=90°，∠B=30°，内切圆与BC切于D, 为△ABC的外心和内心，D在BC上，OD⊥ 则A到D的距离AD等于 () BP,下列选项正确的是 () A.W/4+2√3 B.3+3√3 A.B,O,D,P四点共圆B.OD∥AC C.OD∥AB D.DP∥AC C.W3+4√3 D.前三个答案都不对 8.设等边三角形ABC的边长为1，过点C作以 2.圆上四点A,B,C,D顺时针排列，已知AB= AB为直径的圆的切线交AB的延长线于点 1,BC=2,BD=3,∠DBC=∠DBA,求圆的 D,AD>BD,则三角形BCD的面积为 直径 ( ) A.23 B.2√5 A.62-33 B.42-33 C.2√7 D.以上答案均不正确 16 16 3.两个圆内切于K,大圆的弦AB与小圆切于 C.32-23 D.前三个答案都不对 16 L,已知AK:BK=2:5,AL=10,则BL的 二、填空题 长为 ( 9.已知平行四边形的其中两条边长为3和5， A.24 B.25 一条对角线长为6，另一条对角线长为 C.26 D.前三个答案都不对 4.如图，已知△ABC的面 10.已知点A(-1,0),B(1,0),点P在直线x+ 积为2，D,E分别为边 y-4=0上，AP+BP的最小值为 AB,AC上的点，F为线 11.已知圆内接四边形ABCD的边长分别为 段DE上一点，设裙 AB=1,BC=2,CD=3,DC=4,四边形 能= DF ABCD外接圆的半径为 =之，且y十之-x=1,则 12.设ABCD是边长为1的正方形，正方形所在 △BDF面积的最大值为 平面上的点P满足|PA2+|PB2=PC2, A. B.2 c号 D. PD的最大值为 13.在△ABC中，点若D在BC上，AD平分 5.在△ABC中，∠A=60°，∠B=45°，∠A的角 ∠BAC,△ADC的内心与△ABC的外心重 平分线长为2，CH⊥AB于H.则下列结论 合，∠C= 正确的是 =3,S四边形DECB=1,SAACB A.CH=/3 B.AB=√3+1 14已知船-，8 的大小为 C.BC=√6 D.S△ABc=3 6.已知D,E是Rt△ABC斜边BC上的三等分 点.设AD=a,AE=b,则实数对(a,b)可 以是 ( A.(1,1) B.(1,2) 269 三、解答题 17.（广西)如图，已知 15.设△ABC的三条垂 H,A,C,D四点 线AD,BE,CF的垂 共圆，四边形 足分别为D,E,F; ABCD是平行四 从点D作AB,BE, 边形，F是AD与 B CF,AC的垂线，其 BG的交点，HF=HD=HG. 垂足分别为P,Q,R,S,求证P,Q,R,S在 证明：AB=AF. 同一直线上. 18.如图，G1,G2分别是△ABC,△ACD的重 心，△AG1C的外接圆与直线BD相交于点 16.如图，在△ABC中，P,Q, P,且∠G1AG2=∠AG2C=90°， R将其周长三等分，且P, 求证：∠APD=∠CPG. Q在AB边上， SAmR2 求证：SAAc9 B 270参考答案与解析 16.解：“有趣的”复数数列{xn.归纳地可知之≠0(n∈N). 在式①中令x=2cot+i.别(2cot-cot领+) 由条件得4()+2()+1=0(meN” -1士B1(m∈N). [(2eu）广-(2co开+2门 解得= 4 =[(eot）)广-(oi吾+门 因此2=-1+=1 Z 4。 21 -2(sc云[(os）广-(os吾+am)门 故z.=Z‘2品=aeN.0 2(ec开)【(eos开)月 -(cos元+isin)] 进而有之，十+=，…1+出 2片(cse开)广[(eos)广+] (EN ) 4 [)+(w)门 命题获证， 记Tm=必1十十…十xm(m∈N).当m=2s(s∈N”)时， l8.解：因为1=，所以：a(1-i)(cos9+isin0) 利用②可得 =(sin 0+icos 0)2, T≥z+-2|-十a 整理得：a(cos0+sin0)十a(sin0-cos0)i=sin0-cos0 +2isin Ocos 0, fa(cos 0++sin 0)=(cos 0+sin 0) 当m=2s十1(s∈N)时，由①，②可知Z2+1|= 所以 (sin 0-cos ) Aa (sin 0-cos 0)=2sin 0cos 0. 1ca0s0叶s血0=0→0=径或华，当g=要时，代入得a 故Tm≥之1十：-∑|张-1十-|之+1> k=2 号当0-经时代入释= 4 2 31 (2)若cos0+sin≠0，则有： 当m=1时，T=1=1心 (sin 0-cos 0)2=2sin dcos tan0-4tan +1-0, 3 故1an0=2士原，放9的值为号或登或晋我号 以上表明C-5满足受求 3 另一方面，当=1,4=二1十 时于的a位会到为一9号号。9我所有的00为 22 ()(》(9￥)（停，） 1=)(∈N)时 22+1 易验证知{之}为“有趣的”数列.此时 ()() limT+1=liml之1+之(g十+1)川= 第十三章 平面几何 8 一、选择题 C不能大于蜂上，所求的C为吗 1.D如右图所示，连接ID,El,IA. 欲求AD,就先去求CD,AC的长 17.解：首先证明：若=-1，则日（红-o牙） 度.容易证明四边形IDCE是正方 形，于是CD=CE=ID=1. [-)-+)门0 而AE=IE·cot∠IAE=tan60°=√3， 令P()=[x-)-(+i)门.则P()是-个m 于是 1次多项式， AD=√CD+CAF=√1+(1+3)=√5+23. 评析：没什么特别的技巧，就是分析线段长度关系，利用简单 其首项系教为n[C(-i)-C门=1.又当x=cot领 的三角计算得出结果 (1≤k≤n-1)时， 2.D如图，因为有∠DBA=∠DBC, (r+)=(oi经+）'=(ec磨)(eos经+isin） 所以AD=DC,再根据托勒密定理，AD·BC +CD·AB=BD·AC, -(csc经)广[(os开+is无)'门 代入数据就有AC=CD=DA, 即△ACD为等边三角形.再由余弦定理容易 =(cse)'(-1)=(cseF）》'(cos经-iain凭） 算得圆的半径为四 =(x-i)” 3 评析：这道题考查的是几何直觉.画出图来后，容易发现可以 所以，P(eo)=0.由因式定理得p(a) 先确定圆的直径再决定BD的位置，就不难选出正确答案D. (x-oi凭) 3.B如图，设BK与小圆交于M,连接ML,CD为两圆在K处 的公切线. 413 强基数学·巅峰突破 由弦切角定理，得∠DKM=∠BAK= 由于B,D,O,P四点共圆，所以∠ROP= ∠KLM,又∠KLA=∠KML,于是可得 ∠ABP=∠CBP,且∠PDB=∠POB, ∠AKL=∠BKL,因此由角平分线定理 又O为△ABC的外心，得OC=OB, 可得AL:BL=AK:BK,从而可得 所以∠ACE=∠BCE=∠OBC BL=25. 评析：综合了弦切角定理和角平分线定理 2∠BOp. 1 的几何计算题，基本是在考查学生初中阶段的几何储备，初 所以∠PDB=∠POB=2∠BCE=∠ACB 中阶段没有学习过简单的数学竞赛，此类题可能会感到吃力. 所以PD∥AC.所以答案为AD. D连接BE,S:=BSE=SaE 8C如图所示，共中0B=0B=号C0=9,则 Sam-03a=1-Se· CE-号从6可特哭-器成0D=9 Sc-53=Sam子灵 则San-3E25,故选C 16 S△mF=(1-x)yzS△ABC=2(1-x)y之. 方法1：SAmF=2(1一x)y之 ≤2(H时1=）=2×（得）广- 3 等节我主的条降：y=一层一司 方法2：将y十之一x=1,变形为y十之=x十1，暂时将x看成常 数， 然使g取得最大值必须y==士，子是 二、填空题 S6oe=21-x)(x+1), 9.解析：平行四边形的对角线的平方和等于它四边的平方和， 设另一条对角线长为x,所以x2+62=2(32+5),所以x 5m=21-≤2(=)=品 42. 3 当且仅当1一x=y=之时等号成立 答案：4√2 评析：事实上，本题用余弦定理也可以做出，但显然利用上述 解这个一元高数的板值问题，当2=子时取极大值 27” 结论速度更快，因此知道一些基本的结论是很有必要的， 评析：方法2：这种多元函数的题目一般就是将其他变量看作 10.解析：A,B在直线同侧，作B点关于直线的对称点C(4,3), 常量，针对剩下的变量讨论，从而使变量数一步步减少，但这 AP+BP=AP+PC≥AC=√34，当且仅当P为AC与直线 个一定要验证答案的合理性.比如本题，均要令x,y,之取值 x十y一4=0的交点时取到.故最小值为√34. 于01之间. 答案：√34 5.ABC由题意，作DF⊥AB于D.则因为∠A=60°，∠A的角 11.解析：设∠DAB=8,因为A,B,C,D四点共圆， 平分线长为2，→∠DAF=30°，DF-1,AF=√3. 所以∠DCB=x-6, 又∠B=45°→FB=1. 由余弦定理得：DB=AB十AD一2AB·ADcos日 所以AB=√3+1正确」 =CD:+CB2-2CB.CDcos(-0) 设AH=x,则CH=√5x=BH.故AB 即17-8eos9=13+12c0s9P0s9=号，DB√g =(3+1)x→x=1. 至此容易验证ABC正确，D错误. 又由正弦定理得：R= DB =√2310 评析：非常容易的解三角形题目. 2sin 24 6.ACD如图，作DK⊥AB于K,EL⊥AB于L, 答案：√2310 24 则D,E是三等分点， 有EL=2DK,KA=2LA. 12.解析：以B为原点，BC,BA分别为x,y轴正方向建立平面 直角坐标系，设点P坐标为(x,y),根据|PA2+|PB2= 设DK=x,LA=y, PC2,得到x2+(y-1)+x2+y=(x一1)2+y,化简得 原g (x十1)十(y-1)2=2,容易得出在这个圆上的动点P到点 这个方程有正数解一 D的距离的最大值为2十√2，在点P坐标为（一1-2,1）时 1 取得. a<b2a.故选ACD. 答案：2十√2 评析：这道题考查的是几何直观.因为AB是一定的，那么 AD和AE的比值是不会超过BD和DE的比值，据此即可选 ACD.而严格代数证明如上. 7.AD设DO交BP于R,E为AB中点，则∠R=∠CEB=90° .O,R,E,B共圆.∴.∠CBP=∠RBE=∠ROP ∴O,D,B,P共圆.∠PDB=∠POB. 评析：此题是不因难的解析法的例子 参考答案与解析 13.解析：设题中的内心和外心为O, 即图中E,F两点， 从==能 一方面O在∠C的角平分线上， CD+2DGAF+合DF 又OA=OB=OC,所以△OCA DG 与△OCB为等腰三角形， 又∠ACF=∠BCF,所以∠AOC =∠BOC,所以△OCA≥△OCB(SAS) 所以AC=BC,得到∠A=∠B. 品 另-方面A-∠0AC=∠OCA= 由HF=HD=HG可知HP⊥DF,HQ⊥DG, ,所以∠A=2∠C,综 4 由H,A,C,D四点共圆可知∠HAP=∠HCQ,从而 上可得∠C=爱 Rt△HAPc∽Rt△HCQ, 答案：号 利器-器-器日光R△HQD≌R△HPD.DQ=DP, 14.解析：如图，过D作DG∥AC, 于是架-原8品-1，AB=AR 交BC于G,则△BDGC∽ 18.证明：如图，连接BG并 △BAC,△FEC∽△FDG 延长分别交CA,CG,于 器器景照 M,N, AB3'BC 由G1是△ABC的重心知 D B4 G M是AC的中点， 设直线CG,与直线BD的交点为Q, -号BG+cG=C= CG 1 因为∠G1AG=∠AGC=90°，所以AG1∥NC, 又=8CG=CF,BG=GF, 又AM=MC,所以四边形ANCG是平行四边形， 所以GN=2GM=BG,又G2是△ACD的重心，AM= 器器-1 MC,所以D,G,M三点共线， 设S△FEc=S,则SAG=4S,SAG=4S,SAABC=9S, 又-子所以GG∥BD.又GN=,G为 Sg连每GD=S△FmG一S△F=3S, NB的中点，所以G,G,是△NBQ的中位线，G,是NQ的中 六Sg边指DeCB=S△BDG十Sm边形rGD=4S十3S=7S, 点，所以△ANQ是等腰三角形，因此AQ=AN=G1C,梯形 又：S号E6=1.7S=1,即S=7.SaAw=9S= 9 AQCG是等腰梯形，所以A,Q,C,G1四点共圆，所以 7 ∠APD=∠APQ=∠CPG. 故Saw=号 第十四章 简单的数论问题 答案：号 三、解答题 A卷 15.证明：设△ABC的垂心为O,则 一、选择题 O,E,C,D四，点共圆.由西姆松 1.B我们分别观察1”、2”、3”、4”的个位数字规律.1”：对所有 定理有：Q,R,S三点共线， 的n其个位数字均为1：2”：容易发现个位数字以4为周期，2 又O,F,B,D四点共圆， 4、8、6、2、4、8、6进行循环；3”，其个位数字以4为周期，3、9、7 且由西姆松定理有：P、Q、R三点 1、3、9、7、1进行循环；4”，其个位数字以2为周期，4、6、4、6进 共线P,Q,R,S四点共线 行循环.所以易知1“十2”十3”十4”的个位数字以4为周期， 16.证明：作△ABC及△PQR的高CN、RH. 验证前4个，其个位数字为0、0、0、4，因此对所有的被4整除 设△ABC的周长为1期PQ=子 的，原式的个位数字不为0，其余的n原式的个位数字均为 0,这样的n共有 则A0=PQ·R1=PQ.AR. SAABC AB·CN=AB·AC,又： 2015- 20157 =1512个，选B. L4 AB< 评析：题目并不难，此题直接观察个位数字的规律即可，做过 此类题目的同学容易知道对于所有的正整数a,a”的个位数 字均是以4为周期的，没接触过此类题目的同学容易被题目 形式吓住，找不到好的解法。 AR=-AP>AC< 2.D原式通分变形等价于xy=2015x+2015y→(x-2015) AC>3,从而S@>2 故AR1 (y-2015)=2015→(x-2015)(y-2015)=52×13× 'S△AB91 312,所以x-2015必须为右边常数的因子，若x一2015<0， 17.证明：如图，分别作DF与DG的中点P,Q, 则y=一2015<0.根据两数相乘的结果为2015的平方，知x 连接HA,HP,HC,HQ, 一2015和y-2015中必有一个小于一2015，则(x,y)中有 由平行四边形ABCD可知△ABFP△DGF, 一个数小于0，不成立.所以x-2015和y-2015均为2015 415