高中数学强基计划最新真题分类专题7：不等式

2020年-2021年高中数学强基计划最新真题分类7：不等式专题 （说明：本资料根据学生记忆或其他资源整理，可能和原题会有出入，题目和参考答案仅供学习和参考） 1.正实数 x，y，z，w 满足 x≥y≥w 和 x+y≤2（z+w），则+的最小值等于（ ） A． B． C．1 D．前三个答案都不对 【分析】依题意，z≥，再利用基本不等式及放缩思想即得出结论． 【解答】解：由 x+y≤2（z+w），得z≥，又 x≥y≥w， 所以, 当且仅当,即时取等号. 故选：D． （2020 年北京大学） 2. 使得 5x+12≤a（x+y）对所有正实数 x，y 都成立的实数 a 的最小值为（ ） A．8 B．9 C．10 D．前三个答案都不对 【分析】由已知分离参数可得，a = ,，换元 t＝，（t＞0），然后导数与单调性关系及恒成立与最值的相互转化可求． 【解答】解：∵5x+12≤a（x+y）对所有正实数 x，y 都成立， ∴a = ， 令t=，（t＞0） a≥， 令 f（t）＝，t＞0， 则= =-, 易得 f（t）在（，+∞）上单调递减，（0，）上单调递增，故 f（t）＜f（）＝9， ∴a≥9 即最小值为 9 故选：B． （2020 年北京大学） 3. 已知正实数满足，则的最小值为____5____． 解析：由均值不等式有：2x+y=(2x+y)(8/x+1/y)=16+2x/y+8y/x+1 ≥17+2 当且仅当取“=” 由柯西不等式有：=≥≥5 当且仅当取“=” （2020 年北京大学） 4. 已知，求的范围． 解析：， 由柯西不等式有 ， 当且仅当时取到等号， 所以该式的范围为。 （2021年中国科技大学） 5. 已知向量，，满足，，，则下列说法正确的是（ ）． A．的最大值为 B．最大值为 C．的最小值为0 D．的最小值为2 （2020年清华大学） 6. 已知，，，求的最值． 解析： 易知，当且仅当取等号； 记,,，则有， 不妨设，则有 ， 当,,，即,,时取等号，所以。 （2021年南京大学） 7. 若实数，，，满足，则的最小值为____2____． 因式分解可得（a＋c）（b＋d）＝1， 根据柯西不等式得（＋3）（1＋1/3)≧，即＋3≧ 同样，2＋4≧ 因此a2 + 2b2 + 3c2 + 4d2 ≧3/4(a + c)2 +4/3 (b + d)2 ≧2(a + c)(b + d) = 2. 等号成立条件为 a : b : c : d =3:2:1:1，其中 c = d = （2021年北京大学） 8. 若，，，则，，的大小顺序是______c>a>b_________． （2020年中国科技大学创新班） 9. 下列不等式恒成立的是（ A ）． A． B． C． D. Cankao 答案A （2020年复旦大学） 10. 设实数满足，则的最小值为（ C ） A. 0 B. 2 C. D. 解析：设+，则-， 所以， 所以81， 设,则有, 所以, 即,解得， 因而的最小值是. （2020年武汉大学） 11. 已知，证明：当时，不等式成立，且当时，该不等式不成立． 解：先证明当C=不等式成立 要证1+ 只需证1+ 只需证 根据积分得定义易得1+ 令f(x)=其在（0，+）上为增函数，则原函数F（x）==。 依据积分法，有f（n）<F(n+1)-F(n) 所以,命题得证 再证当C<时，该不等式不成立，因为 又 所以当C<时，不满足题意。 （2020年中国科技大学创新班） 2 学科网（北京）股份有限公司 $