高中数学强基计划最新真题分类专题6：方程

2020年-2021年高中数学强基计划最新真题分类6：方程专题 （说明：本资料根据学生记忆或网上资源整理，可能和原题会有出入，题目和参考答案仅供学习和参考） 1. 设 a，b，c，d 是方程 x4+2x3+3x2+4x+5＝0 的 4 个复根，则+++ 的值为（ ） A．﹣ B．﹣ C． D．前三个答案都不对 【导引】由根与系数的关系可得，a+b+c+d＝﹣2，ab+ac+ad+bc+cd＝3，abc+bcd+abd+acd ＝﹣4，abcd＝5，再直接计算即可． 【 解答】由根与系数的关系可得， a+b+c+d ＝ ﹣ 2 ， ab+ac+ad+bc+cd=3 ， （2020 年北京大学） abc+bcd+abd+acd＝﹣4，abcd＝5， +++ =4-3, 又+++ = =, ∴+++=4-3 =- 故选：A． （2020 年北京大学） 2. 方程 19x+93y＝4xy 的整数解个数为（ ） A．4 B．8 C．16 D．前三个答案都不对 【导引】把已知等式分解变形，可得（4x﹣93）（4y﹣19）＝93×19＝1×3×31×19．然后分类求解得答案． 【解答】由 19x+93y＝4xy，得 4xy﹣19x﹣93y＝0， 即（4x﹣93）（4y﹣19）＝93×19＝1×3×31×19． 若 ， 无整数解，不合题意； 若，解得 ； 若，解得； 若，解得； 若； ，无整数解，不合题意； 若 ，无整数解，不合题意； 若 ，无整数解，不合题意； 若, ，解得 ． ∴方程 19x+93y＝4xy 的整数解个数为 4 组． 故选：A． （2020 年北京大学） 3. 已知正实数，，满足，则的取值范围为__． 解析：记, 又, 当 所以可知。 （2021年中国科技大学） 4. 已知，，则_1_______． 解：≡ （mod19） 因为≡1（mod19） 所以≡1（mod19） 则n=1 （2021年复旦大学） 5. 已知实数，，满足，求的最小值． 由已知得，所以 ，当且仅当，即时取得等号，最小值为 （2020年中国科技大学创新班） 6. 若三次方程有一个根是纯虚数，则_______________． 设这个根为bi，则，即，所以，解得，或综上a= （2020年中国科技大学创新班） 7. 实数，满足，若的值与，无关，则的取值范围是_______． 的值与x,y无关 所以与同号，即 因为，令x=cos ∝，y=sin ∝，则 所以⇒ （2020年中国科技大学创新班） 8. 方程的非负整数解的组数为______． （2020年中国科技大学创新班） 9. 已知，，且，若满足，则__7_____． （2020年中国科技大学创新班） 10. 若，，为正整数，为素数，则 _______________． ，因此（x+y）和(x-y)同奇或者同偶，因此 （2020年中国科技大学创新班） 11. 方程的正整数解有____0个____． 解：由,得y'2-x'2=x+1, 因为x为正整数，∴x+1>1,即y'2-x'2>1,则y>x 由,得y'2-1=(y-1)(y+1)=x(x+1), 因为y+1>x+1所以y-1<x, 则x<y<x+1,满足该式的正整数y不存在 （2020年上海交通大学） 12. 若，，且满足，则____-1________． 解:-1 （2020年上海交通大学） 13. 若实数，满足，，则_0__． 解:0 （2020年上海交通大学） 14. 方程的整数解的组数为____2____． 解:2 （2021年北京大学） 15.方程的正整数解的组数为__无穷______． 考虑到＋=取n0（mod3），n0（mod4），n-1（mod5）即可例如取 n=60k+24,k∈N, 此时 （2021年北京大学） 16. 已知实数，，满足，则（ ） A．有1组 B．有4组 C．，，均为有理数 D．，，均为无理数 （2020年清华大学） 17. 若为非负整数，则方程的解有____85____组． 解:显然x^1=x^2=…=x^7=0是满足条件的一组解, 且只要中有0，则剩余的必须全为0. 下面只考虑非零的情形.不妨设0<x^1≤x^2≤...≤x^7则x^1*x^2*...*x^7≤x^1x^2...x^6≤7. 显然此时必有x^1=x^2=x^3=x^4=1(否则x^4x^5x^6≥2^3=8> 7,矛盾).于是命题等价于x^5x^6x^7=4 +x^5+x^6+x^7,且由x^5x^6≤7,可得x^5≤2. 情形1: x^5=1.则x^6x^7=5+x^6+x^7→(x^6-1)(x^7-1)=6.满足条件的解有(x^6,x^7)=(2,7),(3,4). 情形2:x^5=2.则x^6=2或3. x^6