高中数学强基计划最新真题分类专题4：解析几何

2020年-2021年高中数学强基计划最新真题分类4：解析几何专题 （说明：本资料根据学生记忆或其他资源整理，可能和原题会有出入，题目和参考答案仅供学习和参考） 1. 从圆 x2+y2＝4 上的点向椭圆 C：+y2＝1 引切线，两个切点间的线段称为切点弦，则椭圆 C 内不与任何切点弦相交的区域面积为（ ） A． B． C． D．前三个答案都不对 【导引】设点 A（2cosθ，2sinθ），再根据题意求出切点弦方程，作图易得椭圆 C 内不与任何切点弦相交的区域面积即椭圆的面积，结合椭圆面积公式求解即可． 【解答】设点 A（2cosθ，2sinθ），则 BC 直线方程为 cosθ•x+2sinθ•y＝1， 由于 + =1 在点 （acosθ，bsinθ） 的切线方程为+ =1， 则a=1，b= ， 因此 cosθ•x+2sinθ•y＝1 为椭圆 x2+4y2＝1 的切线系方程． 由椭圆的面积可得πab= ， 下面证明以下两个引理： ①过椭圆 + =1上一点 P（x0，y0） 的切线方程为 +=1. 证明：当斜率存在时，设切方程为 y＝kx+t，联立椭圆方程 + =1， 联立直线与椭圆方程可得（b2+a2k2）x2+2a2ktx+a2（t2﹣b2）＝0① 由题可得：△＝4a4k2t2﹣4a2（b2+a2k2）（t2﹣b2）＝0，化简可得：t2＝a2k2+b2，①式只有一个根，记作 x0 =- =-,为切点的横坐标， 切点的纵坐标 =kx0+t= ， 所以 =- ，所以k=- ， 所以切线方程为：y-=k(x-)=-(x-)， 化简得： +=1 ， 当切线斜率不存在时，切线为 x＝±a，也符合方程 +=1 ， 综上 + =1 上一点 P（x0，y0） 的切线方程为 +=1 ． ②从椭圆 + =1 外一点 P（x0，y0） 作椭圆的两条切线， 切点分别为 A，B，则切点弦 AB 的方程为 +=1 ． 证明：如图，设切点 A，B 的坐标分别为 （x1，y1），（x2，y2）， 则椭圆的以 A，B 为切点的切线方程分别为 +=1和 +=1 ， 由两切线均过点 P（x0，y0） 有 +=1 和 +=1 ， +=1所以点 A（x1，y1），B（x2，y2） 均在直线 +=1上， 因此切点弦 AB 的方程为 +=1 ． 故选：A． （2020 年北京大学） 2. 已知，分别是椭圆的左右焦点，为椭圆上一点，延长到点，满足．的中点为，则下列两个结论是否正确： 结论1：；结论2：为椭圆的切线． 解答： AB=B,H为A中点，由等腰三角形性质，结论1显然. 做B平分线，交于点C， 由角平分线性质，==e 椭圆公式 设B（g,h）,则B=eg+a, C=g+c,C(g,0) 由斜率推导出BH：为椭圆切线。 （2021年复旦大学） 3．确定曲线的类型． 解：可以理解曲线上点到定点的距离，而表示曲线上的点到定直线的距离， 化简移项发现这两个距离比为定值，符合椭圆的第二定义。 即该曲线是以为焦点，以为准线， 离心率为的椭圆。 （2021年复旦大学） 4. 确定曲线的类型． 解：可以理解曲线上点到定点的距离，而表示曲线上的点到定直线的距离， 化简移项发现这两个距离比为定值，符合椭圆的第二定义。 即该曲线是以为焦点，以为准线， 离心率为的椭圆。 （2021年复旦大学） 5. 求由曲线，围成的面积． 解：如图，易求，则, 所以，则, 又, 因此所求面积为 （2021年复旦大学） 6. 求极坐标的曲线轨迹． 解：阿基米德螺线 （2021年复旦大学） 7. 设抛物线与相切，则________． 解: 设两者在处相切，显然，问题等价于曲线与在处相切，因此有 两式相除得，从而可得. （2021年中国科技大学（广东）） 8. 设空间区域中存在四个点两两距离都是，则的是大值为________． 解：问题等价于求能放进单位半球内的正四面体的棱长的最大值，不妨设正四面体的顶点为坐标最大的顶点，我们首先考虑底面在平面上的情形，此时易得正四面体的高，进而棱长小于，故的最大值为. （2021年中国科技大学（广东）） 9. 抛物线上有，两点，，则中点的轨迹方程为 ___． 解析：设 则有, 且, 化简，得，所以轨迹方程为。 （2021年中国科技大学） 10. 设抛物线，过焦点作直线，交抛物线于，两点，满足．过点作抛物线准线的垂线，垂足记为点，准线交轴于点，若，则 _______________． 解析：如图所示，设BF=t，则AF=3t，由抛物线的定义知AA1=AF=3t,BB1=BF=t,在△BDA中，,所以， 四边形CFAA1的面积 即; 且，得，即，代入上式得； （2020年复旦大学） 11. 点绕点按顺时针方向旋转60度，所得的点的坐标为_____． 解析：